本文将结合matlab代码讲解SAR距离向成像问题。

本文只研究距离向，且是正侧视情况。

文中以同一方位向坐标上四个目标点的成像为例，这四个目标的关系如下：

目标的相关信息：

% 关于目标

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Xc=2.e3; % Range distance to center of target area

X0=50; % target area in range is within [Xc-X0,Xc+X0]

ntarget=4; % number of targets

%%%%%%%%%%%%% Targets' parameters %%%%%%%%%%%%%%%%%% % % xn: range; fn: reflectivity 发射系数 % xn(1)=0; fn(1)=1; xn(2)=.7*X0; fn(2)=.8; xn(3)=xn(2)+2*dx; fn(3)=1.; xn(4)=-.5*X0; fn(4)=.8; %注意这里的xn是相对于中间的Xc的位置 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

发射信号是线性调频信号：

% 关于发射信号

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% colormap(gray(256)) cj=sqrt(-1); pi2=2*pi; %

c=3e8; % Propagation speed

B0=100e6; % Baseband bandwidth is plus/minus B0 注意这里的带宽是2B0

w0=pi2*B0;

fc=1e9; % Carrier frequency

wc=pi2*fc;

Tp=.1e-6; % Chirp pulse duration

alpha=w0/Tp; % Chirp rate

wcm=wc-alpha*Tp; % Modified chirp carrier 即是式子中的beta

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1 问题的描述

成像的过程只要分为两步： 发射信号到接收信号；后处理，即接收信号到影像 如图：

第一步是个正问题，主要由硬件完成，第二步是个逆问题，主要由软件完成。

第一个问题的输入f0(x)是地面目标的理想函数，其与发射信号p(t)的联合起来之后得到输c出：回波信号s(t)。

第二个问题的输入是s(t)，通过与p∗(−t)匹配滤波，得到输出f(x)。这个输出就是我们想要的。如何得到f(x)就是我们的核心问题。

理想情况下f(x)=f0(x)，这意味着我们得到了地面目标函数，也即是我们的影像完全真实地反映了地面的情况。但是，这是不可能实现的。不过，通过合理地解这个逆问题，使得f(x)接近f0(x)是成像的关键问题，也是我们不断努力的目标。

2 问题的分析和解决

其实问题的解决办法在上一个图中已经暗示了，他就是匹配滤波技术，这个技术我们已经在“急救箱系列”分析过了。但是面对实际问题，还是有许多问题需要说明，尤其是像我这样的新手。

2.1 再谈匹配滤波

匹配滤波的实施公式：

SM(t)=F−1(ω)[S(ω)P∗(ω)]

其中S(ω),P(ω)分别为回波信号s(t)和参考(发射)信号p(t)的傅里叶变换，p(t)，s(t)和S(ω)的形式分别如下：

p(t)=a(t)exp(jβt+jαt2)

s(t)=∑nσnp(t−2xn/c)

S(ω)=P(ω)∑nσnexp(−jω2xnc)

接着推导匹配滤波的实施公式得到：

sM(t)=F−1(ω)[∑nσn|P(ω)|2exp(−jω2xnc)]=∑nσnPsft(t−2xnc)

其中Psft=F−1(ω)[|P(ω)|2]表示时间域距离成像点扩散函数。

这样就得到了我们的问题的答案：

f(x)=sM(t)=∑nσnPsft[2c(x−xn)]

这里的转换时用到了时间和距离的比例关系：

x=c2t

利用这个关系同样可以得到距离域的点扩散函数。

2.2 采样

这个问题是必然会碰见的问题，因为我们要进行的是“数字处理”。这里的关键问题有：

采样间隔，这个由信号带宽2B0决定：

δt<=1/2B0=π/ω0

采样起止时刻：

Ts=2(Xc−X0)c

Tf=2(Xc+X0)c+Tp

其中，Tp表示信号持续的时间，最后加上这一项是为了避免出现回波信号中含有部分波的情况。

采样的时间段：

t∈[Ts,Tf]

Tf−Ts=4X0c+Tp

采样点数：

n=2∗ceil((.5∗(Tf−Ts))/dt)

取这么多采样点是考虑到离散傅里叶变换的问题。

空间域和频率域采样序列：

xi=cti2=(Xc−X0)+(i−1)cδt2

ωi=ωc+(i−n2−1)δω

δω=2πnδt

该部分的代码是：

% 采样问题

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% dt=pi/(2*alpha*Tp); % Time domain sampling (gurad band plus minus

% 50 per) or use dt=1/(2*B0) for a general

% radar signal

%

Ts=(2*(Xc-X0))/c; % Start time of sampling

Tf=(2*(Xc+X0))/c+Tp; % End time of sampling

% Measurement parameters

n=2*ceil((.5*(Tf-Ts))/dt); % Number of time samples

t=Ts+(0:n-1)*dt; % Time array for data acquisition

dw=pi2/(n*dt); % Frequency domain sampling

w=wc+dw*(-n/2:n/2-1); % Frequency array (centered at carrier)

x=Xc+.5*c*dt*(-n/2:n/2-1); % range bins (array); reference signal is

% for target at x=Xc.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2.3 结果

四个目标的回波信号对应的代码是：

% 获得回波信号

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

s=zeros(1,n); % Initialize echoed signal array

%暂时可以忽略

na=8; % Number of harmonics in random phase

ar=rand(1,na); % Amplitude of harmonics

ter=2*pi*rand(1,na); % Phase of harmonics

for i=1:ntarget;

td=t-2*(Xc+xn(i))/c;

%注意这里的时间是对采样时间序列的一个延迟，另外有一个平移

%这个要跟后面的参考信号也就是匹配滤波器对应上，而且他会影响恢复出来的f(x)的解译

pha=wcm*td+alpha*(td.^2); % Chirp (LFM) phase

for j=1:na; % Loop for CPM harmonics 相位调制！可以暂时忽略

pha=pha+ar(j)*cos((w(n/2+1+j)-wc)*td+ter(j));

end;

s=s+fn(i)*exp(cj*pha).*(td >= 0 & td <= Tp); %回波信号 注意是各个目标的回波信号的叠加

%特别注意这里的Tp，是脉冲持续的时间

end;

匹配滤波用到的参考信号对应的代码是：

% Reference echoed signal

%

td0=t-2*(Xc+0)/c;

%注意这里的时间参考点

%这个要跟前面的回波信号的时间对应上，而且他会影响恢复出来的f(x)的解译

pha0=wcm*td0+alpha*(td0.^2); % Chirp (LFM) phase

for j=1:na; % Loop for CPM harmonics

pha0=pha0+ar(j)*cos((w(n/2+1+j)-wc)*td0+ter(j));

end;

s0=exp(cj*pha0).*(td0 >= 0 & td0 <= Tp);

解调及显示：

% Baseband conversion 解调

% 这里和该系列前面讲的正交解调还是不一样的，当时讨论过

% 为什么会出来了复数图像，现在看来，这个问题有点幼稚。

% 线性调频信号本身就可以表示成复数，回波信号也是。

% 任何一个数只要我们愿意，都可以在形式上表示成复数(无非实数的虚数部分为零嘛)。

% 不应该觉得复数是什么奇怪的事情，而应该觉得它实实在在，就在那里，这是见得少了罢了。

%

sb=s.*exp(-cj*wc*t);

sb0=s0.*exp(-cj*wc*t);

plot(t,real(sb))%只是显示了振幅

xlabel('Time, sec')

ylabel('Real Part')

title('Baseband Echoed Signal')

axis('square')

axis([Ts Tf 1.1*min(real(sb)) 1.1*max(real(sb))])

print P1.1a.ps

pause(1)

%

plot(t,real(sb0))

xlabel('Time, sec')

ylabel('Real Part')

title('Baseband Reference Echoed Signal')

axis('square')

axis([Ts Tf 1.1*min(real(sb0)) 1.1*max(real(sb0))])

print P1.2a.ps

pause(1)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ![这里写图片描述]()

注意图中只是画出了振幅信息，而忽略了相位信息，实际上相位信息是非常有用的，特别是在有的应用中。

匹配滤波及结果：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 目标函数重建

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

% Fourier Transform

%

fsb=fty(sb);

fsb0=fty(sb0);

% Power equalization

% 这里是对参考信号做了一个处理，暂时可以先忽略

mag=abs(fsb0);

amp_max=1/sqrt(2); % Maximum amplitude for equalization

afsb0=abs(fsb0);

P_max=max(afsb0);

I=find(afsb0 > amp_max*P_max);

nI=length(I);

fsb0(I)=((amp_max*(P_max^2)*ones(1,nI))./afsb0(I)).* ...

exp(cj*angle(fsb0(I)));

%

% Apply a window (e.g., power window) on fsb0 here

%

E=sum(mag.*abs(fsb0));

%

% Matched Filtering

%

fsmb=fsb.*conj(fsb0);

%

%

% Inverse Fourier Transform

%

smb=ifty(fsmb); % Matched filtered signal (range reconstruction)

%

% Display

%

plot(x,(n/E)*abs(smb))

xlabel('Range, meters')

ylabel('Magnitude')

title('Range Reconstruction Via Matched Filtering')

axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1]); axis('square')

print P1.6a.ps

pause(1)

结果：

3 如果不采用匹配滤波技术

如果不采用匹配滤波技术，可以用一种叫pulse compression的方法。但是它对信号的形式有一定的限制，比如线性调频信号。上面介绍的匹配滤波方法并不局限于线性调频信号。

代码：

% 另一种方法Time domain Compression

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %解调并压缩

td0=t-2*(Xc+0)/c;

scb=conj(s).* ...

exp(cj*wcm*td0+cj*alpha*(td0.^2)); % Baseband compressed signal

%

plot(t,real(scb))

xlabel('Time, sec')

ylabel('Real Part')

title('Time Domain Compressed Signal')

axis('square')

print TimeDomainCompressedSignal.png

pause(1)

%因为上面的信号包含了与目标的位置相关的频率成分，所以只要进行一个傅里叶变换即可得到问题的解。

fscb=fty(scb);

X=(c*(w-wc))/(4*alpha); % Range array for time domain compression 注意参考点

plot(X+Xc,(dt/Tp)*abs(fscb)) %?

xlabel('Range, meters')

ylabel('Magnitude')

title('Range Reconstruction Via Time Domain Compression')

axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1]); axis('square')

%axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1*max(abs(fscb))]); axis('square')

pause(1)

结果：

说明：

观察上面的结果和匹配滤波得到的结果可以发现明显的不同，这里的原因我暂时也不是特别清楚，也可能是这段代码有问题。但是必须注意到：这肯定是由于信号的压缩造成的。这个后面再回来说。

以上所有的分析中有一个问题被我掩盖了，那就是幅宽问题，如果幅宽很大，以上的分析没有问题，但是如果幅宽相对脉冲持续时间比较小，会带来一个问题，这个问题的解决需要在匹配滤波的过程中添加一些步骤。 未完待续。