生成单比特纠错海明码

海明码校验位长度应如是：

设一个 K 比特的信息串的单比特纠错海明码需要的校验比特位数为 r ，则他们有如下关系：（除了考试，不用记公式）

$2^{r}-1\geq K+r$

原理：求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数 r 。考虑长度为 k 位的信息，若附加了 r 个校验位，则所发送的总长度为 k+r 。在接收端中要进行 r 个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个 r 位的二进制数，它可以确定最多 $2^{r}$ 种不同状态。这些状态中必有一个其所有奇偶测试都是真的，它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（ $2^{r}$ -1）种状态，可以用来判定误码的位置。

确定校验比特和信息比特的位置：

首先我们把原来的二进制信息串当成一个常规的二进制数，比如 1001011 ，右边是低位，左边是高位，那么：

理论上校验比特可以放在任何位置，但习惯都是将校验比特 $R_{k}$ 放在 ${\color{Orange} }2^{k}$ （1、2、4、8、16……）位置上 ( k $\geq$ 0 ) ，其余位置依次放原来二进制串中的信息比特 $I_{i}$ ( i $\geq$ 1)。

方便关注原理，我们把位置转化成对应的二进制数（右边是低位，左边是高位）：

位置	1011	1010	1001	1000	0111	0110	0101	0100	0011	0010	0001
信息比特及校验比特	$I_{7}$	$I_{6}$	$I_{5}$	$R_{3}$	$I_{4}$	$I_{3}$	$I_{2}$	$R_{2}$	$I_{1}$	$R_{1}$	$R_{0}$
原信息比特	1	0	0		1	0	1		1

那么接下来我们直接开始了：

求 $R_{0}$ ：其对应的位置是 $2^{0}$ （即0001），那我们把位置第一位为1对应的信息比特拿出来求异或，结果即为 $R_{0}$ ：

$R_{0}$ = $I_{1}$ $\bigoplus$ $I_{2}$ $\bigoplus$ $I_{4}$ $\bigoplus$ $I_{5}$ $\bigoplus$ $I_{7}$ = 0

求 $R_{1}$ ：其对应的位置是 $2^{1}$ （即0010），那我们把位置第二位为1对应的信息比特拿出来求异或，结果即为 $R_{1}$ ：

$R_{1}$ = $I_{1}$ $\bigoplus$ $I_{3}$ $\bigoplus$ $I_{4}$ $\bigoplus$ $I_{6}$ $\bigoplus$ $I_{7}$ = 1

求 $R_{2}$ ：其对应的位置是 $2^{2}$ （即0100），那我们把位置第三位为1对应的信息比特拿出来求异或，结果即为 $R_{2}$ ：

$R_{2}$ = $I_{2}$ $\bigoplus$ $I_{3}$ $\bigoplus$ $I_{4}$ = 0

求 $R_{3}$ ：其对应的位置是 $2^{3}$ （即1000），那我们把位置第四位为1对应的信息比特拿出来求异或，结果即为 $R_{3}$ ：

$R_{3}$ = $I_{5}$ $\bigoplus$ $I_{6}$ $\bigoplus$ $I_{7}$ = 1

假如还有更多，以此类推……

于是将这些校验比特放入对应位置，得到：信息序列1001011 对应的单比特纠错海明码为：10011010110

skr ~

那么这些位置的计算原理是什么呢？接收方如何校验？

将每个信息比特的位置写成2的次幂之和的形式有：（这里的信息比特不是上面的例子，但以此类推）

校验位与通过异或生成它的那些信息位构成偶校验关系，则接收方利用相应的偶校验来验证：

海明码计算小结：

以上是我上计算机网络专业课后对单比特纠错海明码的个人总结，图片素材来源于老师上课的PPT。

这是我第一次写博客……这将是很好的学习笔记，我也在这里分享见解。

Skr ~

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单比特纠错海明码校验位的计算过程

生成单比特纠错海明码

海明码校验位长度应如是：

$2^{r}-1\geq K+r$

确定校验比特和信息比特的位置：

那么这些位置的计算原理是什么呢？接收方如何校验？

海明码计算小结：

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