算法题 - 数列最高得分

问题描述：

给定一个非负数列，每次从中取出一个数字，而这个数字左右两边的邻居值的乘积，作为本次取数的得分。被取出数字之后，剩余组成新的数列，且相对位置不变，如果最后这个数字没有左邻居或者右邻居，则补1即可。求，这些数字被取完，所有得分的总和最大是多少？

例如下图

注：这个题目是同学出的，传说是，三星实习生转正的测试题目，其实，如果没有左邻居或者右邻居是补 1，还是补 0, 我不清楚，现在是按照补 1，计算。

问题分析：

（1）首先理解一个事情，就是把整个数列看做一个整体，那么最优解值，一定是最后一个数字 i 的得分是1（i 是未知的），加上以 i 为分界线，左右两个区间的最优解（有点像二分法）。这个不难理解，最后就剩下一个数字时，很显然，把两边的最优解加上最后一个 1 ，就是整体的最优解。这样一来就满足了动态规划的两个基本条件：

最优子结构：每个区间都符合这样解的结构。

重叠子问题：左右区间又生成左右区间，构成重叠问题。

（2）问题：最后被取走的数字i 是哪一个？因为已经知道区间内的所有数字，那么就可以枚举（遍历）这些数字，找到最优的那个 i 。这类问题一般称区间 dp 。

（3）问题：左右小区间的最优解如何确定？那么现在就是，从最小区间开始计算，通俗的讲，先计算长度2的小区间，然后依次增加区间的长度。每次计算时，小区间就像一个滑动窗口，例如从长度为2的小区间作为一个窗口，从左向右依次滑动，求出所有小区间的最优解保存到dp[l][r]中。可以看出计算过程是自底向上的。所以dp[l][r]只用到了上三角的空间（l<r）。

（4）dp状态转换方程：

dp方程式为：dp[left][right] = max(dp[left][right], nums[left] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right])

dp[left][right]，表示区间 left-->right 的最优解（不包括，left 和 right 两个边界）

nums[left] * nums[right]，表示最后一个被取出的数字的得分，为什么要乘上两个边界值那？因为它是最后一个被取出来的，整体来看，最后就剩下一个，就是乘上两个1，在子区间内，就是乘上两边的边界值了。

max(dp[left][right], nums[left] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right])，表示从区间内开始枚举 i，计算出本次区间的最优解。

Python3实现（时间复杂度O(n3),空间复杂度O(n2)）：

# @Time   :2018/7/14
# @Author :LiuYinxing
# 解题思路 区间动态规划# 题目大意，给定一个数组，每次删除一个数字，并把这个数字相邻的两个数的积作为本次得分，如果左右没有相邻的数字，则补 1 。
# 求这个数列的最大得分是多少？class Solution:def maxScore(self, Nums):nums = [1] + Nums + [1]  # 首尾添加[1],方便计算n = len(nums)dp = [[0] * n for _ in range(n)]  # 初始化dpfor k in range(2, n):  # k 确定一个滑动窗口的大小，从2开始for left in range(0, n - k):  # 滑动窗口，从左向右滑动，确定区间的开始（left）、结束（right）位置right = left + kfor i in range(left + 1, right):  # 开始枚举，区间内选择一个数字，并使其得分最高dp[left][right] = max(dp[left][right],nums[left] * nums[right] + dp[left][i] + dp[i][right])return dp[0][n - 1]if __name__ == '__main__':nums = [3, 1, 5, 8]solu = Solution()print(solu.maxScore(nums))

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