手眼标定（二）：Tsai　求解方法

文章目录

1. Tsai两步法：
2. 影响标定精度的几个因素
3. 提高精度的几个方向

在手眼标定（一）中介绍了机械臂一次运动过程可以推导出手眼标定方程Hg * Hce = Hce * Hc，本节介绍Tsai方法求解手眼标定方程。若要算出Hce就需要进行多次运动得到多组方程进行求解。
我们记每组方程为: Hgij * Hce = Hce * Hcij：
$H_{gij} \equiv \begin{bmatrix} R_{gij} &T_{gij} \\ 0^{T}& 1 \end{bmatrix}, H_{ce} \equiv \begin{bmatrix} R_{ce} & T_{ce}\\ 0^{T}& 1 \end{bmatrix}, H_{cij} \equiv \begin{bmatrix} R_{cij} & T_{cij}\\ 0^{T}& 1 \end{bmatrix}$
符号解释：
Pgij:　是　Rgij　对应的旋转轴。
Pce:　是　Rce　对应的旋转轴。
Pcij:　是　Rcij　对应的旋转轴。
Skew(V): 三维向量V(vx, vy, vz) 的反对称矩阵：
$Skew(V) = \begin{bmatrix} 0 & -v_{z} & v_{y}\\ v_{z}& 0 & -v_{x}\\ -v_{y}& v_{x} & 0 \end{bmatrix}$

1. Tsai两步法：

1.1. 第一步：求解Rce
step 1: 每组机械臂运动得到一组方程：

其中： Skew(Pgij + Pcij) 总是奇异的，至少需要两组运动数据才能求解出唯一解 Pce’, 求解方法是最小二乘法。
step 2: 计算　Rce 对应的旋转轴Pce:

step 3: 计算　Rce

1.2. 第二步：求解 Tce
至少两组运动数据，根据下面公式，使用最小二乘法求解Tce

2. 影响标定精度的几个因素

首先看作者论文中推导的误差分析表达式：公式中下标12和23表示用于标定的两组运动数据，例如Pg12 表示第一次运动的旋转矩阵Rg12对应的旋转轴，Pg23表示第二次运动的旋转矩阵Rg23对应的旋转轴。
旋转误差：

平移误差：

（１）. 两次运动的旋转轴的夹角：越大越好
从旋转误差公式看到，旋转误差公式的第一项分母为　sin[<(Pg12, Pg23)]，因此旋转轴Pg12与Pg23的夹角越大，则误差越小。也可以从求解Rce的step 1中公式理解旋转轴夹角的影响，使用两组运动数据进行求解则求解方程的系数矩阵为：

从系数矩阵可以看到，两次运动的旋转轴的夹角越大，系数矩阵越接近线性独立。
（２）每次运动的旋转矩阵对应的旋转角度：越大越好
两个误差公式的分母都有:
$\theta _{g12}$
因此每次运动的旋转角度越大，标定精度越高。
（３）相机中心到标定板的距离：　距离越小越好
从平移误差公式可以看到，公式中有|Tc1| ，该项为相机坐标系到标定板坐标系的距离，因此该距离越小越好。
（４）每次运动机械臂末端运动的距离：距离越小越好
在平移误差公式中包含一项|Tg1 - Tg2|，该项为每次机械臂运动中末端运动的距离，因此该距离越小越好。
（５）机械臂精度影响
在旋转误差公式中，旋转误差与机械臂末端位姿误差呈线性关系，且在平移误差公式中，平移误差与机械臂末端位姿误差接近线性关系，当机械臂末端位置误差很大时平移误差受位置误差影响很大。
在以上影响因素中，前４个因素为主要影响因素，机械臂精度为第二影响因素，但是有时候，机械臂末端位置定位精度误差很大时，机械臂精度影响成为主要因素。

3. 提高精度的几个方向

根据上述分析的几个影响手眼标定的几个因素，可以得到一下几个注意事项提高手眼标定精度：
(1) 不管采集多少组用于标定的运动数据，每组运动使运动角度最大。
(2) 使两组运动的旋转轴角度最大。
(3) 每组运动中机械臂末端运动距离尽量小，可通路径规划实现该条件。
(4) 尽量减小相机中心到标定板的距离，可使用适当小的标定板。
(5) 尽量采集多组用于求解的数据。
(6) 使用高精度的相机标定方法。
(7) 尽量提高机械臂的绝对定位精度，如果该条件达不到，至少需要提高相对运动精度。