现代控制理论重点难点总结

重点概念

1. 矩阵指数与状态空间方程的解

状态空间方程的解可以用矩阵指数来描述。矩阵指数形如：
x(t)=eA(t−t0)x0x\left( t \right) =e^{A\left( t-t_0 \right)}x_0 x(t)=eA(t−t0)x0
矩阵指数的展开式为幂级数：
eAt=I+At+12!A2t2+...+1k!Aktke^{At}=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}t+\frac{1}{2!}\boldsymbol{A}^2t^2+...+\frac{1}{k!}\boldsymbol{A}^kt^k eAt=I+At+2!1A2t2+...+k!1Aktk
矩阵指数的意义：只要指导了矩阵指数，给定初值和时间，可以求解计算得到所有的状态值。因此矩阵指数描述了状态的转移特征。
矩阵指数的计算方法: 定义法、特征值法、拉普拉斯变换法。
状态转移矩阵也经常写成：
Φ(t)=eAt\varPhi \left( t \right) =e^{\boldsymbol{A}t} Φ(t)=eAt
关键应用：
通过对矩阵A进行非奇异变换，予以对角化，从而为求解状态转移矩阵提供了便利。（证明方法：矩阵指数的幂级数定义法）
T−1AT=ΛeAt=T[eλ1t...eλ2t]T−1\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{AT}=\boldsymbol{\varLambda } \\ \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{A}t}=\boldsymbol{T}\left[ \begin{matrix} e^{\lambda _1t}& & \\ & ...& \\ & & e^{\lambda _2t}\\ \end{matrix} \right] \boldsymbol{T}^{-1} T−1AT=ΛeAt=Teλ1t...eλ2tT−1
因此该方法时现代控制理论中非常重要的方法，涉及矩阵指数的定义、特征根的计算、特征向量的计算。
例：采用特征值方法计算矩阵指数。
设：
A=[01−2−3]A=\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ -2& -3\\ \end{matrix} \right] A=[0−21−3]
计算如下：
根据：∣λI−A∣=0得:∣λ−12λ+3∣=0即：λ(λ+3)+2=0得到：λ1=−1，λ2=−2当λ1=−1，−2计算特征向量：[01−2−3][1p1]=−1[1p1]⟹p1=−1[01−2−3][1p2]=−2[1p2]⟹p2=−2因此特征向量：T1=[11−1−2]，T1−1=[21−1−1]因此可得矩阵指数为：Φ(t)=[11−1−2][e−t00e−2t][21−1−1]Φ(t)=[e−te−2t−e−t−2e−2t][21−1−1]Φ(t)=[2e−t−e−2te−t−e−2t−2e−t+2e−2t−e−t+2e−2t]虽然特征向量不同，但是计算得到得状态转移矩阵相同。\text{根据：}|\lambda I-A|=0 \\ \text{得}:\left| \begin{matrix} \lambda& -1\\ 2& \lambda +3\\ \end{matrix} \right|=0 \\ \text{即：}\lambda \left( \lambda +3 \right) +2=0 \\ \text{得到：}\lambda _1=-1\text{，}\lambda _2=-2 \\ \text{当}\lambda _1=-1\text{，}-2 \text{计算特征向量：} \\ \left[ \begin{matrix} 0& 1\\ -2& -3\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ p_1\\ \end{array} \right] =-1\left[ \begin{array}{c} 1\\ p_1\\ \end{array} \right] \Longrightarrow p_1=-1 \\ \left[ \begin{matrix} 0& 1\\ -2& -3\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ p_2\\ \end{array} \right] =-2\left[ \begin{array}{c} 1\\ p_2\\ \end{array} \right] \Longrightarrow p_2=-2 \\ \text{因此特征向量：} \\ T_1=\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ -1& -2\\ \end{matrix} \right] \text{，}T_{1}^{-1}=\left[ \begin{matrix} 2& 1\\ -1& -1\\ \end{matrix} \right] \\ \text{因此可得矩阵指数为：} \\ \varPhi \left( t \right) =\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ -1& -2\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} e^{-t}& 0\\ 0& e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2& 1\\ -1& -1\\ \end{matrix} \right] \\ \varPhi \left( t \right) =\left[ \begin{matrix} e^{-t}& e^{-2t}\\ -e^{-t}& -2e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2& 1\\ -1& -1\\ \end{matrix} \right] \\ \varPhi \left( t \right) =\left[ \begin{matrix} 2e^{-t}-e^{-2t}& e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t}& -e^{-t}+2e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \\ \text{虽然特征向量不同，但是计算得到得状态转移矩阵相同。} 根据：∣λI−A∣=0得:λ2−1λ+3=0即：λ(λ+3)+2=0得到：λ1=−1，λ2=−2当λ1=−1，−2计算特征向量：[0−21−3][1p1]=−1[1p1]⟹p1=−1[0−21−3][1p2]=−2[1p2]⟹p2=−2因此特征向量：T1=[1−11−2]，T1−1=[2−11−1]因此可得矩阵指数为：Φ(t)=[1−11−2][e−t00e−2t][2−11−1]Φ(t)=[e−t−e−te−2t−2e−2t][2−11−1]Φ(t)=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t]虽然特征向量不同，但是计算得到得状态转移矩阵相同。
通过上述例子复习了矩阵特征值、特征向量、矩阵指数的计算。

2. 线性定常非齐次微分方程的解

理论公式：x(t)=eAtx(0)+∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ\boldsymbol{x}\left( t \right) =e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}\left( 0 \right) +\int_0^t{e^{\boldsymbol{A}\left( t-\tau \right)}}\boldsymbol{Bu}\left( \tau \right) d\tau x(t)=eAtx(0)+∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ
以下式为例，练习线性定常非齐次微分方程的解：
x˙=[01−2−3]x+[01]u，计算状态方程的解x(t)=[2e−t−e−2te−t−e−2t−2e−t+2e−2t−e−t+2e−2t]x(0)+∫0t[e−(t−τ)−e−2(t−τ)−e−(t−τ)+2e−2(t−τ)]dτ第一项计算略,上式第二项计算：∫0t[e−(t−τ)−e−2(t−τ)−e−(t−τ)+2e−2(t−τ)]dτ=[∫0te−(t−τ)−e−2(t−τ)dτ∫0t−e−(t−τ)+2e−2(t−τ)dτ]=[12e−2t−e−t+12e−t−e−2t]\dot{x}=\left[ \begin{matrix} 0& 1\\ -2& -3\\ \end{matrix} \right] x+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] u\text{，计算状态方程的解} \\ \boldsymbol{x}\left( t \right) =\left[ \begin{matrix} 2e^{-t}-e^{-2t}& e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t}& -e^{-t}+2e^{-2t}\\ \end{matrix} \right] \boldsymbol{x}\left( 0 \right) +\int_0^t{\left[ \begin{array}{c} e^{-\left( t-\tau \right)}-e^{-2\left( t-\tau \right)}\\ -e^{-\left( t-\tau \right)}+2e^{-2\left( t-\tau \right)}\\ \end{array} \right]}d\tau \\ \text{第一项计算略},\text{上式第二项计算：} \\ \int_0^t{\left[ \begin{array}{c} e^{-\left( t-\tau \right)}-e^{-2\left( t-\tau \right)}\\ -e^{-\left( t-\tau \right)}+2e^{-2\left( t-\tau \right)}\\ \end{array} \right]}d\tau =\left[ \begin{array}{c} \int_0^t{e^{-\left( t-\tau \right)}-e^{-2\left( t-\tau \right)}d\tau}\\ \int_0^t{-e^{-\left( t-\tau \right)}+2e^{-2\left( t-\tau \right)}d\tau}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2}e^{-2t}-e^{-t}+\frac{1}{2}\\ e^{-t}-e^{-2t}\\ \end{array} \right] x˙=[0−21−3]x+[01]u，计算状态方程的解x(t)=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t]x(0)+∫0t[e−(t−τ)−e−2(t−τ)−e−(t−τ)+2e−2(t−τ)]dτ第一项计算略,上式第二项计算：∫0t[e−(t−τ)−e−2(t−τ)−e−(t−τ)+2e−2(t−τ)]dτ=[∫0te−(t−τ)−e−2(t−τ)dτ∫0t−e−(t−τ)+2e−2(t−τ)dτ]=[21e−2t−e−t+21e−t−e−2t]

3. 能控性和能观性

能控性定义： 如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间内，时系统由某一个初始状态x(t0),转移到任一终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统为状态完全能控的。
能控性的理解：1. 标量微分方程的理解方式，如果标量微分方程包含输入u(t)项，则该状态受输入控制，否则该状态不受控；2. 在状态平面内，受控状态变量表现为状态子空间的形式；3. 在系统状态框图中，受控状态与输入有所练习；
能控性与什么有关：与系统矩阵的形式有关、与输入的作用点（输入矩阵B）有关。
对角标准型：当系统状态描述为对角标准型时，若输入矩阵有一项为0，则该项对应的状态不受控，表现为，该状态的自由衰减响应，同时不受其他状态变量的影响；
约当标准型：当系统为约当标准型时，系统的状态总是受下一个状态影响，因此只要最后一项状态受输入控制，则所有的状态都可以受控；约当标准型形如：

第二种判断方法：直接通过AB阵判断

以下的能控性矩阵满秩：M=(bAbA2bA3b,...,An−1b)M=\left( b\,\,Ab\,\,A^2b\,\,A^3b,... ,A^{n-1}b \right)M=(bAbA2bA3b,...,An−1b)

4. 连续时间线性时不变系统的离散化

参考：线性系统理论（第2版）-郑大钟 p122页；
x˙=Ax+Buy=Cx+Du表示为离散化形式：{x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)G=eATH=(∫0TeATdt)B\dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx+Du \\表示为离散化形式： \begin{cases} x\left( k+1 \right) =Gx\left( k \right) +Hu\left( k \right)\\ y\left( k \right) =Cx\left( k \right) +Du\left( k \right)\\ \end{cases} \\ G=e^{AT} \\ H=\left( \int_0^T{e^{AT}dt} \right) B x˙=Ax+Buy=Cx+Du表示为离散化形式：{x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)G=eATH=(∫0TeATdt)B

5. 状态变量分析法

参考：状态变量法及其应用-陈屏
传递函数法，又称端部法。

查漏补缺

矩阵指数展开为幂级数的证明
离散时间状态空间方程的求解方法
线性变换不改变系统的能控性原因