一、上下文无关文法 ( CFG )

上下文无关语法组成 : 由 {V,Σ,R,S}\{ \quad V , \Sigma , R , S \quad \}{V,Σ,R,S} 四部分组成 ;

变量集 VVV : 有限的变量集合 ;

终端字符集 Σ\SigmaΣ : 有限的终端字符组成的集合 ; 相当于常量的含义 , 与变量相对 ;

规则集 RRR : 有限的规则组成的集合 , 规则规定如何进行代换操作 , 规定变量 , 终端字符 , 字符串变量等 ;

开始变量 SSS : 该变量作为开始变量 ;

规则 :

① 已知条件 : 假设 u,v,wu, v , wu,v,w 是 变量 ( 变元 ) 或 终端字符集 ( 常量 / 常元 ) ;

② 规则描述 : 规则是一个箭头 , A→wA \to wA→w , AAA 是变元 , www 是变元和常元组成的终端字符 ;

③ 规则用法 : 在字符串中 , 根据 A→wA \to wA→w 规则进行替换 , 只需要将 AAA 变元替换成 www 字符串即可 ;

④ 规则示例 : uAvuAvuAv 中使用上述规则进行替换 , 将 AAA 替换成 www , 替换结果是得到新字符串 uwvuwvuwv ;

uAv⇒uwvuAv \Rightarrow uwvuAv⇒uwv

二、上下文无关文法 ( CFG ) 示例

上下文无关文法 ( CFG ) : G3=({S},{a,b},R,S)\rm G3 =( \; \{ S \}, \{ a, b \}, R , S \; )G3=({S},{a,b},R,S) 其组成如下 :

变量集 {S}\rm \{ S \}{S} ;
终端字符集 {a,b}\rm \{ a, b \}{a,b} ;
规则 R\rm RR ;
开始变量 S\rm SS ;

规则 R\rm RR 描述 : S→aSb∣SS∣ε\rm S \to aSb \; | \; SS \; | \; \varepsilonS→aSb∣SS∣ε

S\rm SS 变量可以使用 aSb\rm aSbaSb 字符串替换 ;
S\rm SS 变量可以使用 SS\rm SSSS 字符串替换 ;
S\rm SS 变量可以使用 ε\rm \varepsilonε 字符串替换 ;

规则替换过程 : 下面的 ① ~ ⑦ 分别对应七次规则替换 ;

S⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbb⇒aaabaSbbb⇒aaababbb\rm S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbb \Rightarrow aaabaSbbb \Rightarrow aaababbbS⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbb⇒aaabaSbbb⇒aaababbb

① SS\rm S SSS 是开始变量 , 可以使用 aSb\rm aSbaSb 替换 S\rm SS ; S⇒aSb\rm S \Rightarrow aSbS⇒aSb
② 使用 aSb\rm aSbaSb 替换 S\rm SS ; aSb⇒aaSbb\rm aSb \Rightarrow aaSbbaSb⇒aaSbb
③ 使用 SS\rm SSSS 替换 S\rm SS ; aaSbb⇒aaSSbb\rm aaSbb \Rightarrow aaSSbbaaSbb⇒aaSSbb
④ 使用 aSb\rm aSbaSb 替换第一个 S\rm SS ; aaSSbb⇒aaaSbSbb\rm aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbbaaSSbb⇒aaaSbSbb
⑤ 使用 ε\rm \varepsilonε 替换第一个 S\rm SS ; aaaSbSbb⇒aaabSbb\rm aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbbaaaSbSbb⇒aaabSbb
⑥ 使用 aSb\rm aSbaSb 替换 S\rm SS ; aaabSbb⇒aaabaSbbb\rm aaabSbb \Rightarrow aaabaSbbbaaabSbb⇒aaabaSbbb
⑦ 使用 ε\rm \varepsilonε 替换 S\rm SS ; aaabaSbbb⇒aaababbb\rm aaabaSbbb \Rightarrow aaababbbaaabaSbbb⇒aaababbb

三、确定性有限自动机 DFA 转为上下文无关语法 CFG

1 . 确定性有限自动机 ( DFA ) 转为上下文无关语法 ( CFG ) : 将

确定性有限自动机 ( DFA ) 的指令 , 转为对应的

上下文无关语法 ( CFG ) 规则 : δ(qi,a)=qj⇒Ri→aRj\rm \delta ( q_i, a ) = q_j \Rightarrow R_i \to aR_jδ(qi,a)=qj⇒Ri→aRj

δ(qi,a)=qj\delta ( q_i, a ) = q_jδ(qi,a)=qj 表示 qiq_iqi 状态下 , 读取字符 aaa , 跳转到 qjq_jqj 状态 ;

2 . 自动机的状态跳转转换成规则示例 : 下图中的确定性有限自动机 , 开始状态 AAA 读取 111 字符转化成 BBB 状态 , 表示成规则就是 RA→1RBR_A \to 1R_BRA→1RB

3 . 自动机的状态 AAA 读取字符 aaa 转换成另一个状态 BBB , 都可以转换成对应的规则 RA→aRBR_A \to aR_BRA→aRB ;

4 . 计算能力对比 : 上下文无关语法的计算能力要大于等于自动机的计算能力 ;

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