巴特沃斯低通滤波器设计分析

计算机科学与技术学院

数字信号处理课程作业

学 号：专 业学生姓名：教师：教授2015年月

图1巴特沃斯低通滤波器幅频特性

从表1可以看出，巴特沃斯滤波器在带通和过渡区域的线性相位、衰减斜率、加载特性以及跳跃反应方面具有特性均衡的优点。因此在实际使用中，巴特沃斯滤波器已被列为首选。

表1 巴特沃斯与贝塞尔、切比雪夫滤波器的特性差异比较

滤波器类型带通过渡区域阶跃响应巴特沃斯滤波器带通中最大的平坦幅度比贝塞尔滤波器陡峭，但不如切比雪夫滤波器性能好有一些过冲和振铃，但低于切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器带通中的纹波比巴特沃斯滤波器和贝塞尔滤波器陡峭过冲和振铃合理贝塞尔滤波器带通中的平坦幅度响应比巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器慢与巴特沃斯和切比雪夫滤波器相比，过冲和振铃非常小

3.3 巴特沃斯低通滤波器的设计原理

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数，用下式表示：

N为滤波器的阶数。当Ω=0时，=1；Ω=时，=1/2，是3dB截止频率。Ω=时，Ω逐渐增大，幅度下降非常迅速。Ω和N同幅度特性关系图如图1所示。N决定了幅度下降速度，N越大，通带就越平坦，过渡带也随之变窄，阻带幅度同过渡带下降的速度越迅速，总体频响特性同理想低通滤波器的实际误差越小。

用S代替，把幅度平方函数变成S的函数：

，此公式说明了幅度平方函数有2N个极点，极点可以用下面的公式来表达：

2n个极点等间隔分布在半径为的圆上，间隔是rad。如图2所示。

图2 三阶巴特沃斯滤波器极点分布

为形成稳定的滤波器，2N个极点只取S平面左半面的N个极点构成，而右半平面的N个极点构成。的表达式为

例如N=3，通过下式可以计算出6个极点：

，，，，，

当n=3时，6个极点中位于左半平面的三个分别是：

，，

取S平面左半面平面的极点，，组成：

将对3dB截止频率归一化，归一化后的表示为：

令，p称为归一化拉式复变量。，λ称为归一化频率。

经过归一化后巴特沃斯滤波器的传输函数为：

式中，为归一化极点，为位于左半平面的极点用下式表示：

，

把极点表达式代入归一化后的巴特沃斯滤波器的传输函数，得到的的分母是p的n阶多项式，用下式表示：

下面来确定n，由技术指标，，和确定。在定义 ，中，将和分别代入幅度平方函数，得到和，再将和代入中，整理得：

联立这两个式子可得：

令，，则n的表达式为：，取大于等于N的最小整数。

经过总结，巴特沃斯低通滤波器的设计步骤大致为：

通过，，和的值，用公式算出滤波器的阶数n。

根据，，求出归一化极点，将代入中，得出归一化传输函数。

将去归一化。将代入中，从而得到实际的滤波器传输函数。

4. MATLAB仿真及分析

4.1 MATLAB简介

MATLAB语言是一种面向科学与工程计算的预言，它编程效率高，测试程序手段丰富，扩展能力强，内涵丰富。它的信号处理工具箱提供了设计巴特沃斯滤波器的函数。本文充分利用这些函数，进行了巴特沃斯滤波器的程序设计，并将其作为函数文件保存，可方便地进行调用。

4.2 MATLAB仿真及分析

用函数设计归一化的巴特沃斯低通滤波器。函数可在给定滤波器性能的情况下，选巴特沃斯滤波器的阶数n和截止频率，从而可用函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。

可得到足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数n及截止频率，其中为通带的拐角频率，为阻带的拐角频率，和的单位均为；为通带区的最大波动系数，和阻带区的最小衰减系数，和的单位都为dB。可设计截止频率为的n阶低通模拟巴特沃斯滤波器，其传递函数为：。

令=1，得到巴特沃斯滤波器归一化结果，如表2所示。

表2 n=1~8阶的巴特沃斯滤波器系数

滤波器的性能指标如下：通带截止频率=2400HZ，通常最大衰减=3dB，阻带截止频率=5000HZ，阻带最小衰减=25dB。

MATLAB程序如下：

%采样率

>> f_N=16000;

%设计要求指标

>> f_p=2400;

>> f_s=5000;

>> R_p=3;

>> R_s=25;

%计算归一化角频率

>> Ws=f_s/(f_N/2);

>> Wp=f_p/(f_N/2);

%计算阶数和截止频率

>> [n,Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);

%计算H(Z)

>> [b,a]=butter(n,Wn);

%作出H(Z)的幅频相频图，freqz(b，a，计算点数，采样率)

>> freqz(b,a,1000,8000)

>> subplot(2,1,1);

>> axis([0 4000 -30 3])

利用MATLAB工具箱里的函数，仿真设计巴特沃斯低通滤波器的仿真结果如图3所示。

图3 假定的输入