线性系统理论

○信息技术教学与研究2008年第48期

周刊

基于线性系统稳定性分析及MATLAB仿真与应用

李红涛1、2

(1湖南城市学院物理与电信工程系，湖南益阳

龚伦峰1熊洁1

410076)

413000；2长沙理工大学电气与信息工程学院，湖南长沙

摘要：本文对线性系统从时域、复域和频域进行了稳定性分析，总结了控制系统的主要判据，并借助MATLAB及控制工具箱对线性系统的稳定性进行了分析，分析过程简单，结合实例验证了其真实性、有效性，同时应用MATLAB设计控制器，对控制系统的性能指标进行了改善。

关键词：线性系统稳定性MATLAB控制系统校正引言

稳定性是系统能在实际中应用的首要条件。因此，如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施，便成为自动控制理论的一个基本任务［1］。线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部，在实际工程系统中，为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，即看其是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，由此形成了一系列稳定性判据，而且这些方法都已经过了数学上的证明，是完全有理论根据的，是实用性非常好的方法［5］－［8］。在MAT-LAB未产生前，由于自动控制系统的复杂性，判别稳定性计算量非常大，而采用了MATLAB以后，稳定性分析将变得很简单。采用MATLAB还可以对复杂的控制系统进一步进行分析和设计。

1.控制系统稳定性定义

关于稳定性的定义有许多种，较典型的说法有两种：一种是由俄国学者李雅普诺夫首先提出的平衡状态稳定性，另一种指系统的运动稳定性。对于线线控制系统而言，这两种说法是等价的。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可以定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称为稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。由上述稳定性定义可以推知，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根都具有负实部，或者说闭环传递函数的极点均位于左半S开平面(不包括虚轴)［1］。

2.系统稳定性分析方法概述［2］

在经典控制理论中，常用时域分析法、复域分析法或频率分析法来分析控制系统的性能。不同的方法有不同的适用范围，下面对上述方法进行具体研究。

2.1时域分析法

在经典控制理论中，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行稳定性分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。在时域分析系统的稳定性，必须研究在输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统的输出响应趋于最终期值h(∞)。显然，一个稳定的系统，其时域响应曲线必须是衰减的。

2.2复域分析法

在复域中进行系统稳定性分析，尤其当系统参数K的变化时，选定合适的参数范围使系统达到所需要稳定要求。有两种方法：一是直接法，即对于较易得到系统闭环传递函数的场合，直接求出系统所有闭环极点，判断是否都具有负实部来确的性二是轨法，环传递绘轨迹，由线性系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点均位于左半S开平面(不包括虚轴)，确定使根轨迹在左半S开平面部分时参数范围为系统稳定的区域。

2.2.1直接法

M(s)

假设闭环传递函数为覬(s)=，则其特征方程D(s)=0

D(s)

写成一般形式：

D(s)=a0s+a1s+....+an-1s+an=0(a0>0)(1)

若n≤2，可直接求取其特征方程根(即闭环极点)来判断系统稳定性，即使(1)有待定参数，也容易求出特征方程根的一般形式，但对于求取n>3的高阶系统特征方程式的根很麻

烦，所以对高阶系统一般都采用间接法来判断稳定性，在时域中常采用间接方法是代数判据(也称劳斯判据)。

2.2.2根轨迹法

根轨迹法是一种图解方法，这种方法是根据系统开环零、极点的分布来研究系统中可变参数变化时，系统闭环特征根的变化规律，从而研究系统的稳定性。因此，根轨迹法在控制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。它的最大特点是能够很清晰地了解到闭环特征根的分布，一目了然地得出系统稳定时参数的取值范围，并且不必求出系统的闭环传递函数，适用于较复杂系统。根轨迹法的关键环节就是能够正确地绘制出系统的根轨迹，简单根轨迹可用试探法绘制，复杂根轨迹则应利用其绘制基本规则进行绘制。

2.2.3频域分析法

频域分析法是应用频率特性研究系统的一种经典方法，以系统的频率特性为数学模型，用bode图或其他图表作为分析工具。当系统的开环传递函数表达式不易求出，就无法应用代数判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，此时应用频率稳定判据就非常方便。其前提条件就是要正确地把系统的频率特性绘制成曲线，常用的频率特性曲线大致有三种：幅相曲线(极坐标图)；bode图，也称为对数频率特性曲线；对数幅相曲线(尼科尔斯图)。曲线的绘制可根据系统的开环频率特性的表达式通过取值描点法、叠加法绘制根轨迹草图，或利用MATLAB等计算机辅助工具来实现［4］，［7］。

3.MATLAB实现系统稳定性分析［6］，［8］3.1时域分析法判断系统的稳定性

系统模型为Wk(s)=

nn-1

50

，单位负反馈。利用MAT-(s+5)(s+2)

LAB工具箱提供的时域响应函数，给该系统施加单位冲激，观

察它的响应，分析稳定性。

程序如下：

num=［50］；den=［13-10］；

［num1，den1］=cloop(num，den)；

impulse(num1，den1)title(‘impulseresponse’)

程序中num为开环传递函数分子系数矩阵，den为分母系数矩阵。

系统的稳定性，是指系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状［3］。可观看系稳定的。

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