luogu P2216 [HAOI2007]理想的正方形 递推+ST表
题意:有一个a*b的整数组成的矩阵,现请你从中找出一个n*n的正方形区域,使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。
数据规模:
(1)矩阵中的所有数都不超过1,000,000,000
(2)20%的数据2<=a,b<=100,n<=a,n<=b,n<=10
(3)100%的数据2<=a,b<=1000,n<=a,n<=b,n<=100
------------------------------------------------------------------我是分割线--------------------------------------------------------
题解:对于20%的数据,朴素做法是O(A*B)枚举每个边长为 N 的矩形,再O(N^2)求出矩形内最大值和最小值,取差值最小即可,总时间复杂度O(A*B*N^2)。
由于A*B的枚举矩形是最小下限,无法再优化,于是我们考虑优化求最值的 N^2 过程。
由题意,知道这种题的一般套路都是预处理。
对于以(i,j) 为左上角,长度为K的矩形,我们显然有以下的递推式:
Max(i,j,k) = max{Max(i,j,k), Max(i-1,j-1,k-1),Max(i,j-1,k-1), Max(i-1,j,k-1) }
最小值同理。
由于空间限制,数组大小超内存限制,于是我们使用滚动数组优化,去掉K的一维,先预处理上边长为1的正方形,然后进行k-1次矩阵递推,得到的数据就一定是以k为边长的矩形的大小,总时间复杂度O(A*B*N),期望得分50分。
具体过程见代码实现:
![](/assets/blank.gif)
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#include<bits/stdc++.h>#define ll long long #define mp make_pair #define rep(i, a, b) for(int i = (a);i <= (b);++i) #define per(i, a, b) for(int i = (a);i >= (b);--i)using namespace std;typedef pair<int, int> pii; typedef double db; const int N = 1e6 + 50; int a, b, n, Map[1010][1010]; int Max[1010][1010], Min[1010][1010]; int ans = 1e9; inline int read(){int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch = getchar();}return x*f; } void init(){a = read(); b = read(); n = read();rep(i, 1, a) rep(j, 1, b){ Map[i][j] = read();Max[i][j] = Min[i][j] = Map[i][j];}rep(k, 2, n) per(i, a, k) per(j, b, k){Max[i][j] = max(max(Max[i-1][j-1], max(Max[i][j-1], Max[i-1][j])), Map[i][j]);Min[i][j] = min(min(Min[i-1][j-1], min(Min[i][j-1], Min[i-1][j])), Map[i][j]);} } void work(){rep(i, n, a) rep(j, n, b) ans = min(ans, Max[i][j] - Min[i][j]);printf("%d\n", ans); } int main(){init();work();return 0; }
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由于O(A*B*N)的时间复杂度并不够优秀,需要优化,而预处理复杂度已经达到下限,于是我们需要变换一下式子。
Max(i,j,k) = max{Max(i,j,k), Max(i+2^(k-1),j+2^(k-1),k-1),Max(i,j+2^(k-1),k-1), Max(i+2^(k-1),j,k-1)) }
即用倍增的方法,发现这就是个二维ST表,预处理即可,总时间复杂度为O(A*BlogN)。
具体过程见代码实现:
![](/assets/blank.gif)
![](/assets/blank.gif)
#include<bits/stdc++.h>#define ll long long #define mp make_pair #define rep(i, a, b) for(int i = (a);i <= (b);++i) #define per(i, a, b) for(int i = (a);i >= (b);--i)using namespace std;typedef pair<int, int> pii; typedef double db; const int N = 1e6 + 50; int a, b, n, Map[1010][1010]; int Max[1010][1010], Min[1010][1010]; int ans = 1e9; inline int read(){int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch = getchar();}return x*f; } int ask_max(int l, int r){int k = log2(n);return max(Max[l][r], max(Max[l + n - (1<<k)][r + n - (1<<k)], max(Max[l + n - (1<<k)][r], Max[l][r + n - (1<<k)]))); } int ask_min(int l, int r){int k = log2(n);return min(Min[l][r], min(Min[l + n - (1<<k)][r + n - (1<<k)], min(Min[l + n - (1<<k)][r], Min[l][r + n - (1<<k)]))); } void init(){a = read(); b = read(); n = read();rep(i, 1, a) rep(j, 1, b){ Map[i][j] = read();Max[i][j] = Min[i][j] = Map[i][j];}int t = log2(n);rep(k, 0, t-1) rep(i, 1, a - (1<<k)) rep(j, 1, b - (1<<k)){Max[i][j] = max(Max[i][j], max(Max[i + (1<<k)][j + (1<<k)], max(Max[i + (1<<k)][j], Max[i][j + (1<<k)])));Min[i][j] = min(Min[i][j], min(Min[i + (1<<k)][j + (1<<k)], min(Min[i + (1<<k)][j], Min[i][j + (1<<k)])));} } void work(){rep(i, 1, a-n+1) rep(j, 1, b-n+1){ans = min(ans, ask_max(i, j) - ask_min(i, j));}printf("%d\n", ans); } int main(){init();work();return 0; }
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