D. The Best Vacation（贪心+前缀和+二分）

The Best Vacation

思路

前缀和加贪心

贪心：我们的结尾点一定是在某一个月的最后一天。

贪心部分证明：我们选定两组数

A=an−2,an−1,an,b1,b2,b3……bn−2,bn−1A = a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}……b_{n - 2}, b_{n - 1}A=an−2,an−1,an,b1,b2,b3……bn−2,bn−1

B=an−1,an,b1,b2,b3……bn−2,bn−1,bnB = a_{n - 1}, a_{n}, b_{1}, b_{2}, b_{3}……b_{n - 2}, b_{n - 1}, b_{n}B=an−1,an,b1,b2,b3……bn−2,bn−1,bn

假如我们的贪心策略是正确的，只需要证明bn>an−2b_{n} > a_{n - 2}bn>an−2即可，但是我们总能如愿吗，看一组样例。

2 4
5 21 2 3 4 5 1 2chose 3 4 5 1
chose 4 5 1 2显然这里贪心策略错了
ans 2 3 4 5

但是我们能看到的是这组样例的却也是以某一个月的最后一天结尾。

我们列出a,ba, ba,b两个月的每天来。

a1,a2,a3,……,an−2,an−1,ana_{1}, a_{2}, a_{3}, ……, a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_{n}a1,a2,a3,……,an−2,an−1,an

b1,b2,b3,……,bn−2,bn−1,bnb_{1}, b_{2}, b_{3}, ……, b_{n - 2}, b_{n - 1}, b_{n}b1,b2,b3,……,bn−2,bn−1,bn

假如bn>an−2b_{n} > a_{n - 2}bn>an−2，我们选定的两组数是一定成立的。

或者bn<an−2b_{n} < a_{n - 2}bn<an−2，同样的我们可以得到eachifrom1ton，an−i−1>bn−i+1each\ i\ from\ 1\ to\ n，a_{n - i - 1} > b_{n - i + 1}each i from 1 to n，an−i−1>bn−i+1

这里我们证明得到在上一步的贪心中，以月份aaa结尾的是正确的，否则的话我们将得到以bbb结尾的是正确的。

由此我们的贪心策略是正确的，所以我们只需要用前缀和来维护，然后通过枚举结尾点就行了。

代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;
const int N = 4e5 + 10;ll a[N], s[N], x;
int n;int main() {freopen("in.txt", "r", stdin);ios::sync_with_stdio(false);cin >> n >> x;for(int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];a[i + n] = a[i];s[i] = s[i + n] = (1 + a[i]) * a[i] / 2;}for(int i = 1; i <= n << 1; i++)    a[i] += a[i - 1], s[i] += s[i - 1];ll ans = 0;for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {if(a[i] < x)    continue;ll low = a[i] - x;int p = lower_bound(a + 1, a + 1 + 2 * n, low) - a;if(a[i] - a[p] == x)    ans = max(ans, s[i] - s[p]);else {ll last = low - a[p - 1];ans = max(ans, s[i] - s[p - 1] - (1 + last) * last / 2);}}cout << ans << "\n";return 0;
}

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