Codeforces Round #620 (Div. 2) F2. Animal Observation (hard version) dp + 线段树
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- 题意：
- 思路：
题意：
比如下面这个图：
思路：
对于这个题，比较容易就能考虑到dpdpdp，设f[i][j]f[i][j]f[i][j]为到了第iii行，覆盖了[j,j+k−1][j,j+k-1][j,j+k−1]范围时候的最大值。
先不考虑重叠的情况，那么转移方程就是f[i][j]=max(f[i−1][t]+∑x=tt+k−1a[i][x])+∑x=jj+k−1a[i][x]f[i][j]=max(f[i-1][t]+\sum _{x=t}^{t+k-1}a[i][x])+\sum _{x=j}^{j+k-1}a[i][x]f[i][j]=max(f[i−1][t]+x=t∑t+k−1a[i][x])+x=j∑j+k−1a[i][x]
考虑重叠的情况，将区间[j,j+k−1][j,j+k-1][j,j+k−1]表示为[l,r][l,r][l,r]。
对于easyeasyeasy版本，因为k≤20k\le 20k≤20，所以重叠的部分不会多于202020，所以我们维护一个前后缀的最大值，先取max(pmx[l−1],smx[r+1])max(pmx[l-1],smx[r+1])max(pmx[l−1],smx[r+1])，让后对于[l−k+1,r][l-k+1,r][l−k+1,r]的部分，我们删掉其重叠的部份，让后转移即可，复杂度O(nmk)O(nmk)O(nmk)。
对于hardhardhard版本，由于k≤mk\le mk≤m，所以上面的复杂度不可行，考虑优化。对于区间滑动问题，我们考虑线段树或者单调队列，由于线段树比较好理解，说一下线段树的吧。
我们设g[i][j]=f[i][j]+∑x=jj+k−1a[i][j]g[i][j]=f[i][j]+\sum _{x=j}^{j+k-1}a[i][j]g[i][j]=f[i][j]+x=j∑j+k−1a[i][j]
考虑a[x][y]a[x][y]a[x][y]都在哪里被重复计算了，可以发现在g[x−1][y−k+1],...,g[x−1][y]g[x-1][y-k+1],...,g[x-1][y]g[x−1][y−k+1],...,g[x−1][y]都被重复计算了，我们只需要减去他们，就可以取maxmaxmax加到f[x][y]f[x][y]f[x][y]上了。这个显然可以用线段树来实现，但是复杂度还是O(nmk)O(nmk)O(nmk)的，但是我们可以发现，当从jjj到j+1j+1j+1的时候，jjj不再重叠，j+1+k−1j+1+k-1j+1+k−1产生重叠的部分，分别将这两个地方处理一下就好了。
// Problem: F2. Animal Observation (hard version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #620 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1304/problem/F2
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 3000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=55,M=20010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n,m,k;
int a[N][M],s[N][M],f[N][M];
struct Node
{int l,r;int val,lazy;
}tr[M<<2];void pushup(int u)
{tr[u].val=max(tr[L].val,tr[R].val);
}void pushdown(int u)
{int lazy=tr[u].lazy; tr[u].lazy=0;tr[L].val+=lazy; tr[L].lazy+=lazy;tr[R].val+=lazy; tr[R].lazy+=lazy;
}void build(int u,int l,int r,int pos)
{tr[u]={l,r};if(l==r){tr[u].val=f[pos][l]+s[pos+1][l+k-1]-s[pos+1][l-1];tr[u].lazy=0;return;}build(L,l,Mid,pos); build(R,Mid+1,r,pos);pushup(u);
}void modify(int u,int l,int r,int val)
{if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r){tr[u].val+=val;tr[u].lazy+=val;return;}pushdown(u);if(l<=Mid) modify(L,l,r,val);if(r>Mid) modify(R,l,r,val);pushup(u);
}void add(int val,int pos)
{if(pos>=1) modify(1,max(1,pos-k+1),min(pos,m-k+1),-a[val][pos]);
}void del(int val,int pos)
{if(pos>=1) modify(1,max(1,pos-k+1),min(pos,m-k+1),a[val][pos]);
}int main()
{// ios::sync_with_stdio(false);
// cin.tie(0);int ans=0;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]),s[i][j]=s[i][j-1]+a[i][j];for(int i=1;i<=n;i++){if(i>1) for(int j=1;j<k;j++) add(i,j);for(int j=1;j<=m-k+1;j++){int l=j,r=j+k-1;f[i][j]=s[i][r]-s[i][l-1];if(i!=1) del(i,l-1),add(i,r),f[i][j]+=tr[1].val;}build(1,1,m-k+1,i);}for(int i=1;i<=m;i++) ans=max(ans,f[n][i]);printf("%d\n",ans);return 0;
}
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