两个一般性矩阵互相相似的条件

在复习的时候突然遇到一个问题，两个普通矩阵怎么判定相似。

之前遇到的题目里面都是使用相似对角化的方法，这里就不在仔细介绍，总结就是如果当前矩阵的每一个特征值的几何重数和代数重数均相等，则可以相似于一个对角阵，如果两个矩阵相似于同一个对角阵，则这两个矩阵相似。

A ∼ Λ ∼ B A \sim \Lambda \sim B A∼Λ∼B

这样就要求A和B拥有同样的特征值，并且每一个特征值的几何重数等于代数重数，并且两矩阵对应特征值的几何重数也要相等。

这样先然不是最简的条件，经过网上查询，发现两个矩阵相似不一定同时相似于一个对角阵，任意的矩阵都可以通过可逆变化变为约当标准型，Jordan Matrix。

约当标准型是最简的解耦矩阵，对角阵可以理解为一种特殊的约当矩阵，即每一个约当块的大小为1。

所以两矩阵相似的条件就变为了同时相似与一个约当矩阵了，而约当矩阵就要求约当快对应相等

A ∼ J ∼ B A \sim J \sim B A∼J∼B

所以我觉得最后的结论是，两矩阵相似的充要条件是两矩阵AB拥有同样的特征值，并且两矩阵每个特征值的几何重数和代数重数对应相等(几何重数不必等于代数重数)，两矩阵即可相似。

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