引言

在初次学习线性代数的行列式时，如何计算行列式的值特别关键，也是一种考验基本功的题型。但对于初学者来说，面对眼花缭乱的行列式不免有些难以下手，所以我在此罗列一些常见的行列式的计算方法，希望对大家有所启发。

---

一、箭型行列式

基本特征：这种行列式除了第一行和第一列以及主对角线上存在元素以外，其他元素都是0，形如箭头。
计算方法：对于这种行列式可利用行列式的性质化为上(下)三角行列式来计算，即利用倍加的原理将箭头的一端消掉。

如：
[a1bb⋯bca20⋯0c0a3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮c00⋯an]\begin{bmatrix} {a_{1}}&{b}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {c}&{a_{2}}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {c}&{0}&{a_{3}}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{0}&{0}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​a1​cc⋮c​ba2​0⋮0​b0a3​⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​b00⋮an​​⎦⎤​
用第一列的加上第二列的−ca2-\frac{c}{a_{2}}−a2​c​,第三列的−ca3-\frac{c}{a_{3}}−a3​c​…第n列的−can-\frac{c}{a_{n}}−an​c​。
[a1−bc(∑i=1n1ai)bb⋯b0a20⋯000a3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯an]=[a1−bc(∑i=1n1ai)]∏k=2nak\begin{bmatrix} {a_{1}-bc(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_{i}}) }&{b}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {0}&{a_{2}}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {0}&{0}&{a_{3}}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{0}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{bmatrix}=[a_{1}-bc(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_{i}})]\prod_{k=2}^{n}a_{k}⎣⎡​a1​−bc(∑i=1n​ai​1​)00⋮0​ba2​0⋮0​b0a3​⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​b00⋮an​​⎦⎤​=[a1​−bc(i=1∑n​ai​1​)]k=2∏n​ak​

需要注意的是例子中的行列式里的b和c可以是相同的或者不同的元素，方法都是类似的，当然具体情况还得具体分析。

二、两三角型行列式

基本特征：这类行列式的的特点是对角线上方的元素都是bbb,对角线下方的元素都是ccc ,对角线可以是任意元素。

如：[a1bb⋯bca2b⋯bcca3⋯b⋮⋮⋮⋱⋮ccc⋯an]\begin{bmatrix} {a_{1}}&{b}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {c}&{a_{2}}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {c}&{c}&{a_{3}}&{\cdots}&{b}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{c}&{c}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​a1​cc⋮c​ba2​c⋮c​bba3​⋮c​⋯⋯⋯⋱⋯​bbb⋮an​​⎦⎤​

2.1 当b=c时

计算方法：由于行列式中存在许多相同的元素，故可采用各行（列）与第一行（列）作差的方法来将其化为箭型行列式。

如：[a1cc⋯cca2c⋯ccca3⋯c⋮⋮⋮⋱⋮ccc⋯an]\begin{bmatrix} {a_{1}}&{c}&{c}&{\cdots}&{c}\\ {c}&{a_{2}}&{c}&{\cdots}&{c}\\ {c}&{c}&{a_{3}}&{\cdots}&{c}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{c}&{c}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​a1​cc⋮c​ca2​c⋮c​cca3​⋮c​⋯⋯⋯⋱⋯​ccc⋮an​​⎦⎤​

用第2、3…n列加上第一列的−1-1−1倍可得到箭型行列式

[a1c−a1c−a1⋯c−a1ca2−c0⋯0c0a3−c⋯0⋮⋮⋮⋱⋮c00⋯an−c]=[a1−c(c−a1)(∑i=2n1ai−c)c−a1c−a1⋯c−a10a2−c0⋯000a3−c⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯an−c]\begin{bmatrix} {a_{1}}&{c-a_{1}}&{c-a_{1}}&{\cdots}&{c-a_{1}}\\ {c}&{a_{2}-c}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {c}&{0}&{a_{3}-c}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{0}&{0}&{\cdots}&{a_{n}-c}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {a_{1}-c(c-a_{1})(\sum_{i=2}^n\frac{1}{a_{i}-c})}&{c-a_{1}}&{c-a_{1}}&{\cdots}&{c-a_{1}}\\ {0}&{a_{2}-c}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {0}&{0}&{a_{3}-c}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{0}&{\cdots}&{a_{n}-c}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​a1​cc⋮c​c−a1​a2​−c0⋮0​c−a1​0a3​−c⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​c−a1​00⋮an​−c​⎦⎤​=⎣⎡​a1​−c(c−a1​)(∑i=2n​ai​−c1​)00⋮0​c−a1​a2​−c0⋮0​c−a1​0a3​−c⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​c−a1​00⋮an​−c​⎦⎤​

=[a1−c(c−a1)(∑i=2n1ai−c)]∏i=2n(ai−c)[a_{1}-c(c-a_{1})(\sum_{i=2}^n\frac{1}{a_{i}-c})]\prod_{i=2}^n(a_{i}-c)[a1​−c(c−a1​)(∑i=2n​ai​−c1​)]∏i=2n​(ai​−c)

2.2 b≠c时

计算方法:对这种行列式一般采用拆行的方法，具体演示如下。
第一步：拆行

Dn=[a1bb⋯bca2b⋯bcca3⋯b⋮⋮⋮⋱⋮ccc⋯an]=[a1bb⋯b+0ca2b⋯b+0cca3⋯b+0⋮⋮⋮⋱⋮ccc⋯an−b+b]D_{n}=\begin{bmatrix} {a_{1}}&{b}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {c}&{a_{2}}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {c}&{c}&{a_{3}}&{\cdots}&{b}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{c}&{c}&{\cdots}&{a_{n}}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {a_{1}}&{b}&{b}&{\cdots}&{b+0}\\ {c}&{a_{2}}&{b}&{\cdots}&{b+0}\\ {c}&{c}&{a_{3}}&{\cdots}&{b+0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{c}&{c}&{\cdots}&{a_{n}-b+b}\\ \end{bmatrix}Dn​=⎣⎡​a1​cc⋮c​ba2​c⋮c​bba3​⋮c​⋯⋯⋯⋱⋯​bbb⋮an​​⎦⎤​=⎣⎡​a1​cc⋮c​ba2​c⋮c​bba3​⋮c​⋯⋯⋯⋱⋯​b+0b+0b+0⋮an​−b+b​⎦⎤​

=[a1bb⋯bca2b⋯bcca3⋯b⋮⋮⋮⋱⋮ccc⋯b]+[a1bb⋯0ca2b⋯0cca3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮ccc⋯an−b]=\begin{bmatrix} {a_{1}}&{b}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {c}&{a_{2}}&{b}&{\cdots}&{b}\\ {c}&{c}&{a_{3}}&{\cdots}&{b}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{c}&{c}&{\cdots}&{b}\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} {a_{1}}&{b}&{b}&{\cdots}&{0}\\ {c}&{a_{2}}&{b}&{\cdots}&{0}\\ {c}&{c}&{a_{3}}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c}&{c}&{c}&{\cdots}&{a_{n}-b}\\ \end{bmatrix}=⎣⎡​a1​cc⋮c​ba2​c⋮c​bba3​⋮c​⋯⋯⋯⋱⋯​bbb⋮b​⎦⎤​+⎣⎡​a1​cc⋮c​ba2​c⋮c​bba3​⋮c​⋯⋯⋯⋱⋯​000⋮an​−b​⎦⎤​

第二步：第一个行列式利用前面的111至n−1n-1n−1列减去第nnn列
第三步：将第一个行列式对第nnn行进行展开，将第二个行列式对第nnn列进行展开

Dn=[a1−b00⋯bc−ba2−b0⋯bc−bc−ba3−b⋯b⋮⋮⋮⋱⋮c−bc−bc−b⋯b]+(an−b)Dn−1=b∏i=1n(ai−b)+(an−b)Dn−1D _{n}=\begin{bmatrix} {a_{1}-b}&{0}&{0}&{\cdots}&{b}\\ {c-b}&{a_{2}-b}&{0}&{\cdots}&{b}\\ {c-b}&{c-b}&{a_{3}-b}&{\cdots}&{b}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {c-b}&{c-b}&{c-b}&{\cdots}&{b}\\ \end{bmatrix}+(a_{n}-b)D_{n-1} =b\prod_{i=1}^{n}(a_{i}-b)+(a_{n}-b)D_{n-1}Dn​=⎣⎡​a1​−bc−bc−b⋮c−b​0a2​−bc−b⋮c−b​00a3​−b⋮c−b​⋯⋯⋯⋱⋯​bbb⋮b​⎦⎤​+(an​−b)Dn−1​=b∏i=1n​(ai​−b)+(an​−b)Dn−1​

第四步：而如果我们一开始将ana_{n}an​拆为an−a+aa_{n}-a+aan​−a+a则会得到
Dn′=a∏i=1n(ai−b)+(an−a)Dn−1D_{n}'=a\prod_{i=1}^{n}(a_{i}-b)+(a_{n}-a)D_{n-1}Dn′​=a∏i=1n​(ai​−b)+(an​−a)Dn−1​
由(an−a)Dn−(an−b)Dn′(a_{n}-a)D_{n}-(a_{n}-b)D_{n}'(an​−a)Dn​−(an​−b)Dn′​ 得
(a−b)Dn=a∏i=1n(ai−b)−b∏i=1n(ai−a)(a-b)D_{n}=a\prod_{i=1}^{n}(a_{i}-b)-b\prod_{i=1}^n(a_{i}-a)(a−b)Dn​=a∏i=1n​(ai​−b)−b∏i=1n​(ai​−a)

最终我们可以解出此行列式，这里同样需要提醒的是切记不能将其作为公式来记忆，实际情况可能会比这更复杂，需要具体问题具体分析。

三、两条线型行列式

基本特征：这类行列式的特点是除了主（次）对角线以外或与其相邻的一条斜线组成的两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素均为0。

计算方法:运用拉普拉斯定理对行列式展开。

如：[anbnan−1bn−1⋱⋅⋅a1b1c1d1⋅⋅⋱cn−1dn−1cndn]\begin{bmatrix} {a _{n}}&&&&&&&{b_{n}}\\ {}&{a_{n-1}}&&&&&{b_{n-1}}\\ {}&{}&{\ddots}&&&{\cdot^{\cdot}}\\ {}&{}&{}&{a_{1}}&{b_{1}}\\ {}&{}&{}&{c_{1}}&{d_{1}}\\ {}&{}&{\cdot^{\cdot}}&&&{\ddots}\\ {}&{c_{n-1}}&&&&&{d_{n-1}}\\ {c _{n}}&&&&&&&{d_{n}}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​an​cn​​an−1​cn−1​​⋱⋅⋅​a1​c1​​b1​d1​​⋅⋅⋱​bn−1​dn−1​​bn​dn​​⎦⎤​

对第nnn行和第n+1n+1n+1行展开

(a1d1−c1b1)[anbnan−1bn−1⋱⋅⋅a2b2c2d2⋅⋅⋱cn−1dn−1cndn](a_{1}d_{1}-c_{1}b_{1})\begin{bmatrix} {a _{n}}&&&&&&&{b_{n}}\\ {}&{a_{n-1}}&&&&&{b_{n-1}}\\ {}&{}&{\ddots}&&&{\cdot^{\cdot}}\\ {}&{}&{}&{a_{2}}&{b_{2}}\\ {}&{}&{}&{c_{2}}&{d_{2}}\\ {}&{}&{\cdot^{\cdot}}&&&{\ddots}\\ {}&{c_{n-1}}&&&&&{d_{n-1}}\\ {c _{n}}&&&&&&&{d_{n}}\\ \end{bmatrix}(a1​d1​−c1​b1​)⎣⎡​an​cn​​an−1​cn−1​​⋱⋅⋅​a2​c2​​b2​d2​​⋅⋅⋱​bn−1​dn−1​​bn​dn​​⎦⎤​

重复上述过程最终可以得到：Dn=∏i=1n(aidi−cibi)D_{n}=\prod_{i=1}^{n}(a_{i}d_{i}-c_{i}b_{i})Dn​=∏i=1n​(ai​di​−ci​bi​)

又如：[a1b1a2b2a3⋯⋯⋯⋯an−1bn−1bnan]\begin{bmatrix} {a _{1}}&{b_{1}}\\ {}&{a_{2}}&{b_{2}}&&\\ {}&{}&{a_{3}}&{\cdots}\\ {}&{}&{\cdots}&{\cdots}\\ {}&{}&{\cdots}&{a_{n-1}}&{b_{n-1}}\\ {b_{n}}&{}&&&{a_{n}}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​a1​bn​​b1​a2​​b2​a3​⋯⋯​⋯⋯an−1​​bn−1​an​​⎦⎤​

对行列式的第nnn行进行展开有：
Dn=an∏i=1n−1ai+(−1)n+1bn∏i=1n−1biD_{n}=a_{n}\prod_{i=1}^{n-1}a_{i}+(-1)^{n+1}b_{n}\prod_{i=1}^{n-1}b_{i}Dn​=an​∏i=1n−1​ai​+(−1)n+1bn​∏i=1n−1​bi​

四、Hessenberg行列式

基本特征：除主（次）对角线及与其相邻的斜线，加上第一行（列）或第 nnn行（列）外，其他元素均为0

计算方法:将第一行（列）元素化简到只有一个非零元素之后降阶。

如：[123⋯n−1n1−12−2⋯⋯n−22−nn−11−n]\begin{bmatrix} {1}&{2}&{3}&{\cdots}&{n-1}&{n}\\ {1}&{-1}&&&\\ &{2}&{-2}&&\\ {}&{}&{\cdots}&{\cdots}&{}&{}\\ &&&{n-2}&{2-n}\\ &&&&{n-1}&{1-n}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​11​2−12​3−2⋯​⋯⋯n−2​n−12−nn−1​n1−n​⎦⎤​

观察发现，除了第一行的元素不是相反数以外，从第二行开始一直到第nnn行都是并列的两个相反数，所以可以通过将各列的元素都加到第一列，将第一列化简为一个元素1之后再对第一行展开即：

Dn=[n(n+1)223⋯n−1n0−12−2⋯⋯n−22−nn−11−n]=n(n+1)2[−12−2⋯⋯n−22−nn−11−n]D_{n}=\begin{bmatrix} {\frac{n(n+1)}{2}}&{2}&{3}&{\cdots}&{n-1}&{n}\\ {0}&{-1}&&&\\ &{2}&{-2}&&\\ {}&{}&{\cdots}&{\cdots}&{}&{}\\ &&&{n-2}&{2-n}\\ &&&&{n-1}&{1-n}\\ \end{bmatrix}=\frac{n(n+1)}{2}\begin{bmatrix} {-1}&&&\\ {2}&{-2}&&\\ {}&{\cdots}&{\cdots}&{}&{}\\ &&{n-2}&{2-n}\\ &&&{n-1}&{1-n}\\ \end{bmatrix}Dn​=⎣⎡​2n(n+1)​0​2−12​3−2⋯​⋯⋯n−2​n−12−nn−1​n1−n​⎦⎤​=2n(n+1)​⎣⎡​−12​−2⋯​⋯n−2​2−nn−1​1−n​⎦⎤​

我们不难发现行列式依然可以通过上述方法继续化简，故我们不妨故技重施，最后可以得到行列式的值为：
Dn=(n+1)!2(−1)n−1D_{n}=\frac{(n+1)!}{2}(-1)^{n-1}Dn​=2(n+1)!​(−1)n−1

Hessenberg行列式的解法多种多样，这里我只是列举了其中一种解法。

五、三对角型行列式

基本特征：型如其名，该行列式的结构具有高度的重复性，再降阶后依然可以保持自身的结构, 最重要的是除了三对角以外其余元素均为0
计算方法:对于这种行列式一般采用递推的方法，具体操作如下：
例：

Dn=[xy0⋯00yxy⋯000yx⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯xy000⋯yx]D_{n}=\begin{bmatrix} {x }&{y}&{0}&{\cdots}&{0}&0\\ {y}&{x}&{y}&{\cdots}&{0}&0\\ {0}&{y}&{x}&{\cdots}&{0}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{0}&{\cdots}&x&y\\ {0}&{0}&{0}&{\cdots}&y&x \end{bmatrix}Dn​=⎣⎡​xy0⋮00​yxy⋮00​0yx⋮00​⋯⋯⋯⋱⋯⋯​000⋮xy​000⋮yx​⎦⎤​

对该行列式按第一行展开有：
Dn=xDn−1−y2Dn−2D_{n}=xD_{n-1}-y^{2}D_{n-2}Dn​=xDn−1​−y2Dn−2​
观察发现此递推公式为二阶齐次线性差分方程。故可以用解差分方程的方法来解

解特征方程r2−xr+y2=0r^{2}-xr+y^{2}=0r2−xr+y2=0得：

r1=x+x2−4y22,r2=x−x2−4y22r_{1}=\frac{x+\sqrt{x^{2}-4y^{2}}}{2}, r_{2}=\frac{x-\sqrt{x^{2}-4y^{2}}}{2}r1​=2x+x2−4y2​​,r2​=2x−x2−4y2​​

则Dn=x1n+1−x2n+1x1−x2D_{n}={\frac{x_{1}^{n+1}-x_{2}^{n+1}}{x_{1}-x_{2}}}Dn​=x1​−x2​x1n+1​−x2n+1​​

这个行列式的公式可以根据自己的需要记忆，但最重要的是掌握递推的方法。

六、各行元素和相等的行列式

基本特征：这类行列式的所有行或列的元素加起来后值相等

计算方法:将行列式所有行（列）的元素加到第一行（列），提取公因式，再把每一行（列）都减去第一行（列），一般可以达到化简行列式的效果

如：[1+a1a1a1⋯a1a21+a2a2⋯a2a3a31+a3⋯a3⋮⋮⋮⋱⋮ananan⋯1+an]\begin{bmatrix} {1+a_{1}}&{a_{1}}&{a_{1}}&{\cdots}&{a_{1}}\\ {a_{2}}&{1+a_{2}}&{a_{2}}&{\cdots}&{a_{2}}\\ {a_{3}}&{a_{3}}&{1+a_{3}}&{\cdots}&{a_{3}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n}}&{a_{n}}&{a_{n}}&{\cdots}&{1+a_{n}}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​1+a1​a2​a3​⋮an​​a1​1+a2​a3​⋮an​​a1​a2​1+a3​⋮an​​⋯⋯⋯⋱⋯​a1​a2​a3​⋮1+an​​⎦⎤​

观察发现，每一列的行元素加起来都是1+∑i=1nai1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}1+∑i=1n​ai​将第2行至第nnn行都加到第一行得：
[1+∑i=1nai1+∑i=1nai1+∑i=1nai⋯1+∑i=1naia21+a2a2⋯a2a3a31+a3⋯a3⋮⋮⋮⋱⋮ananan⋯1+an]\begin{bmatrix} {1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}&{1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}&{1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}&{\cdots}&{1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\\ {a_{2}}&{1+a_{2}}&{a_{2}}&{\cdots}&{a_{2}}\\ {a_{3}}&{a_{3}}&{1+a_{3}}&{\cdots}&{a_{3}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n}}&{a_{n}}&{a_{n}}&{\cdots}&{1+a_{n}}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​1+∑i=1n​ai​a2​a3​⋮an​​1+∑i=1n​ai​1+a2​a3​⋮an​​1+∑i=1n​ai​a2​1+a3​⋮an​​⋯⋯⋯⋱⋯​1+∑i=1n​ai​a2​a3​⋮1+an​​⎦⎤​

=(1+∑i=1nai)[111⋯1a21+a2a2⋯a2a3a31+a3⋯a3⋮⋮⋮⋱⋮ananan⋯1+an]=(1+\sum_{i=1}^{n}a_{i})\begin{bmatrix} {1}&{1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {a_{2}}&{1+a_{2}}&{a_{2}}&{\cdots}&{a_{2}}\\ {a_{3}}&{a_{3}}&{1+a_{3}}&{\cdots}&{a_{3}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n}}&{a_{n}}&{a_{n}}&{\cdots}&{1+a_{n}}\\ \end{bmatrix}=(1+i=1∑n​ai​)⎣⎡​1a2​a3​⋮an​​11+a2​a3​⋮an​​1a2​1+a3​⋮an​​⋯⋯⋯⋱⋯​1a2​a3​⋮1+an​​⎦⎤​

再从第二列开始加上第一列的−1-1−1倍得：
=(1+∑i=1nai)[100⋯0a210⋯0a301⋯0⋮⋮⋮⋱⋮an00⋯1]=1+∑i=1nai=(1+\sum_{i=1}^{n}a_{i})\begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {a_{2}}&{1}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {a_{3}}&{0}&{1}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n}}&{0}&{0}&{\cdots}&{1}\\ \end{bmatrix}=1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}=(1+i=1∑n​ai​)⎣⎡​1a2​a3​⋮an​​010⋮0​001⋮0​⋯⋯⋯⋱⋯​000⋮1​⎦⎤​=1+i=1∑n​ai​

这类行列式非常常见，提取公因式的方法也非常实用。

七、相邻两行（列）元素相差kkk倍或相差1的行列式

7.1 相邻两行（列）元素相差1的行列式

计算方法:一般采用逐行（列）作差的方法，即可出现大量的111或−1-1−1的元素，进而便于化简行列式。

如：[012⋯n−2n−1101⋯n−3n−2210⋯n−4n−3⋮⋮⋮⋱⋮⋮n−2n−3n−4⋯01n−1n−2n−3⋯10]\begin{bmatrix} {0}&{1}&{2}&{\cdots}&{n-2}&{n-1}\\ {1}&{0}&{1}&{\cdots}&{n-3}&{n-2}\\ {2}&{1}&{0}&{\cdots}&{n-4}&{n-3}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\ {n-2}&{n-3}&{n-4}&{\cdots}&{0}&{1}\\ {n-1}&{n-2}&{n-3}&{\cdots}&{1}&{0}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​012⋮n−2n−1​101⋮n−3n−2​210⋮n−4n−3​⋯⋯⋯⋱⋯⋯​n−2n−3n−4⋮01​n−1n−2n−3⋮10​⎦⎤​

将行列式依次左列减去右列有：
[−1−1−1⋯−1n−11−1−1⋯−1n−211−1⋯−1n−3⋮⋮⋮⋱⋮⋮111⋯−11111⋯10]\begin{bmatrix} {-1}&{-1}&{-1}&{\cdots}&{-1}&{n-1}\\ {1}&{-1}&{-1}&{\cdots}&{-1}&{n-2}\\ {1}&{1}&{-1}&{\cdots}&{-1}&{n-3}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\ {1}&{1}&{1}&{\cdots}&{-1}&{1}\\ {1}&{1}&{1}&{\cdots}&{1}&{0}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​−111⋮11​−1−11⋮11​−1−1−1⋮11​⋯⋯⋯⋱⋯⋯​−1−1−1⋮−11​n−1n−2n−3⋮10​⎦⎤​

再将行列式的第二行至第nnn行加上第一行有：
[−1−1−1⋯−1n−10−2−2⋯−22n−300−2⋯−22n−4⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯−2n000⋯0n−1]=(−1)n−1(n−1)2n−2\begin{bmatrix} {-1}&{-1}&{-1}&{\cdots}&{-1}&{n-1}\\ {0}&{-2}&{-2}&{\cdots}&{-2}&{2n-3}\\ {0}&{0}&{-2}&{\cdots}&{-2}&{2n-4}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{0}&{\cdots}&{-2}&{n}\\ {0}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{n-1}\\ \end{bmatrix}=(-1)^{n-1}(n-1)2^{n-2}⎣⎡​−100⋮00​−1−20⋮00​−1−2−2⋮00​⋯⋯⋯⋱⋯⋯​−1−2−2⋮−20​n−12n−32n−4⋮nn−1​⎦⎤​=(−1)n−1(n−1)2n−2

7.2 相邻两行（列）元素相差k倍的行列式

计算方法:一般采用前行（列）加上后行（列）的−k-k−k倍，即可达到化简行列式的目的。

如：
[1aa2⋯an−2an−1an−11a⋯an−3an−2an−2an−11⋯an−4an−3⋮⋮⋮⋱⋮⋮a2a3a4⋯1aaa2a3⋯an−11]\begin{bmatrix} {1}&{a}&{a^{2}}&{\cdots}&{a^{n-2}}&{a^{n-1}}\\ {a^{n-1}}&{1}&{a}&{\cdots}&{a^{n-3}}&{a^{n-2}}\\ {a^{n-2}}&{a^{n-1}}&{1}&{\cdots}&{a^{n-4}}&{a^{n-3}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\ {a^{2}}&{a^{3}}&{a^{4}}&{\cdots}&{1}&{a}\\ {a}&{a^{2}}&{a^{3}}&{\cdots}&{a^{n-1}}&{1}\\ \end{bmatrix}⎣⎡​1an−1an−2⋮a2a​a1an−1⋮a3a2​a2a1⋮a4a3​⋯⋯⋯⋱⋯⋯​an−2an−3an−4⋮1an−1​an−1an−2an−3⋮a1​⎦⎤​

行列式的前行加上后行的−k-k−k倍有：
[1−an00⋯0001−an0⋯00001−an⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯1−an0aa2a3⋯an−11]=(1−an)n−1\begin{bmatrix} {1-a^{n}}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\ {0}&{1-a^{n}}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1-a^{n}}&{\cdots}&{0}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{0}&{\cdots}&{1-a^{n}}&{0}\\ {a}&{a^{2}}&{a^{3}}&{\cdots}&{a^{n-1}}&{1}\\ \end{bmatrix}=(1-a^{n})^{n-1}⎣⎡​1−an00⋮0a​01−an0⋮0a2​001−an⋮0a3​⋯⋯⋯⋱⋯⋯​000⋮1−anan−1​000⋮01​⎦⎤​=(1−an)n−1

---

总结

行列式的计算只是基本功，总结再多的方法而不去实践也是没用的。上述的每种行列式都有着不唯一的解法，就比如Hessenberg行列式还可以用递推的方法求解。所以我想说的是计算行列式并不只是计算，而是一种探索的过程。

线性代数中特殊行列式的计算相关推荐

1. 三阶行列式的题目_考研数学 | 线性代数中的行列式重难点分析

   巧儿姐姐叨一叨 线性代数是考研高数试卷中的一个重要组成部分,大约占整个试卷中22%的比例.据历年的考察情形来看,线代的题型变化不大,比较容易拿分.这样也就要求大家在线性代数的地方一定要把该拿的分拿到! ...

2. C++与线性代数(一)实现行列式的计算

   前言 这次给大家带来如何用c++编写行列式的方法,之后会出后续的线性代数的相关知识 前提知识点 逆序: 一个排列中,如果一个大的数排在一个小的数前面 [如 5,2],就称这两个数构成一个逆序. 逆序数 ...

3. 4阶范德蒙德行列式例题_线性代数入门——“爪型行列式”的计算及其应用

   系列简介:这个系列文章讲解线性代数的基础内容,注重学习方法的培养.线性代数课程的一个重要特点(也是难点)是概念众多,而且各概念间有着千丝万缕的联系,对于初学者不易理解的问题我们会不惜笔墨加以解释.在内 ...

4. 线性代数学习笔记6-3：行列式的计算、代数余子式

   下面介绍两种行列式的计算方法 根据基本性质计算行列式 之前说过三个基本性质: 单位阵的det(I)=1det(\mathbf I)=1det(I)=1 交换行列式的两行,行列式正负反号 关于" ...

5. 线性代数学习笔记——行列式的性质及拉普拉斯定理——3. 根据定义计算简单的行列式

   1. 计算简单的行列式示例 2. 下三角行列式.单位行列式.数量行列式的计算 3. 斜下三角行列式.斜单位行列式.斜数量行列式的计算 4. 行列式可按任意一行.一列展开

6. 漫步线性代数二十一——行列式引言

   在一百年前,行列式不是线性代数的中心,但是数学的方向一直在变换!毕竟,仅仅一个数就能告诉我们许多矩阵的信息. 对行列式的一种理解是:它对A−1,A−1bA^{-1},A^{-1}b的每一项给出了明确的 ...

7. Python在高等数学和线性代数中的应用

   Python在高等数学和线性代数中的应用 科学运算设计数值运算和符号运算,数值运算可以使用Numpy库和Scipy库,符号运算则可以使用Sympy工具库,数值计算的表达式.矩阵变量中不允许有未定义的自 ...

8. 四阶行列式计算_【免费专题课】线代之行列式的计算

   01 专题课一  行列式的计算 [课程链接]https://v.qq.com/x/page/w31550za260.html [课程内容] 线性代数中行列式的计算有三种比较常用的方法:其一是对角线法: ...

9. 【MATLAB】（四）MATLAB在线性代数中的应用

   文章目录 前期教程 概述 一.矩阵 1 矩阵的创建 a. 直接创建 b. 创建等距数组 c. 创建等比数组 d. 特殊矩阵 e. 创建对角矩阵 f. Vandermonde矩阵 g. 符号矩阵的生成 ...

最新文章

1. linux安装8168网卡,Fedora 配置 RTL8168/8111 网卡 Linux下 RTL8168/8111 网卡配置
2. html5通html5通,HTML5 history详解
3. Linux用cron发送信息,Python在linux上用cron作业发送KDE knotify消息？
4. fiddler抓包工具简介
5. read cache_通过READ-BEHIND CACHE控制您的慢速生产者
6. php学校成员,php访问成员变量和成员方法
7. Java基础学习总结（152）——JDK 1.7和 JDK 1.8中HashMap的实现有什么不同？
8. 抖音直播APP软件系统为什么能这么火？反映出的问题又会是什么？
9. require.js的AMD规范详解
10. 一款开源的中国象棋人工智能程序
11. 如何将视频转换成文字
12. nginx源码编译安装和配置
13. 几种有趣的Magic Matrix
14. 联想集团“2022年及未来10大科技趋势”预测
15. java实现将汉字转为拼音并包含音调
16. Win10如何用命令行查看MD5
17. 数据库建模工具PowerDesigner的基本使用方法
18. 线性代数---二阶行列式
19. White Sheet（面积法）
20. 施一公 - 清华讲座

热门文章

1. 解析如何评估并部署Web应用防火墙
2. 用简单JAVA语言编写日历
3. 酷炫android壁纸,安卓极致酷炫桌面ADW 附带12款个性主题
4. 红孩子VS腾讯合作项目，API对接被评为腾讯优秀案例
5. 数据结构与算法 （1）复杂度---（时间复杂度）
6. 火神山秒建5G基站，“云监工”背后的是通信技术的极限挑战
7. 十一长假宅到底，Wi-Fi可能伤不起
8. android 雷达搜索动画,Android实现微信雷达辐射搜索好友实例(逻辑清晰实现简单)...
9. 关于各大输入法词库格式之间的转换
10. 小米mix2鸿蒙系统,小米MIX 2配置详解：小米终于有了8GB内存