证明：静电场是无旋场

$\oint_{s}\vec E \cdot d\vec l=0$

根据斯托克斯公式上式等于

$\int_S \nabla \times \vec E \cdot d \vec S=0$

$\nabla \times \vec E=0$

电位的引入

由于静电场是无源场，我们可以得到 $\nabla \times \vec E=0$

又因为 $\nabla \times (\nabla \varphi )=0$

再结合电场的物理意义，我们可以定义 $\vec E=-\nabla \varphi$

功函数表达式的化简

原先功函数表达式

$W=\oint_{A}^{B}\vec E \cdot d\vec l=\oint_{A}^{B}-\nabla \varphi \cdot d \vec l=-\int_{\varphi_{A}}^{\varphi_{B}}d\varphi=\varphi_{A}-\varphi_{B}$

高斯定律的理解

不管是导体还是电解质，对于电场来说可以看作是一个又一个带电粒子

静电场中的导体

在受到电场作用的时候，此时导体的变化肯定是复杂的，并且会产生电流，此时就不再是静电场

（静电场需要满足 1.物理量不随时间变化 2.电荷没有运动）

但是很快就会进入到平衡状态

此时满足四个条件：

1.导体内部电场等于0

2.导体内部是等位体，导体表面也是等位面

3.电荷分布在表面

4.导体表面上只有电场的法向分量（电场的法向分量足够大的时候，会逸出，从而放电）

静电场中的电介质

电介质与导体的区别：所有的粒子被束缚在原子核周围（限制空间）

电介质分为两种

1.无极性分子电介质没有电场的时候，不显电性，但是分子的正负电荷中心是重合的

一旦受到电场，会产生极化，正负电荷中心被拉开，我们称之为位移极化

2.有极性分子电介质虽然正负电荷中心不重合，但是由于热运动，仍然随机无规则分布，不显电性

此时我们施加电场，将会重新排布，我们称之为转向极化

此时我们定义电极化强度

$\vec p=\lim_{\Delta v \to 0}\frac{\sum \vec P_{i}}{\Delta v}$

极化之后

此时电介质被极化，空间的电场将会由两部分组成

第一部分原先的电场，第二部分电介质所产生的电场

两者的合成我们称之为合成电场

此时根据电偶极子模型

电介质所产生的电位

$\varphi(\vec r)=\int_{V} \frac{\vec p (\vec r^{\prime})dV^{\prime} \cdot \vec e_{R}}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}}$

结合 $\nabla^{\prime}(\frac{1}{R})=\frac{\vec e_{R}}{R^{2}}$

代入 $\varphi(\vec r)=\int_{V} \frac{\vec p (\vec r^{\prime})dV^{\prime} \cdot \vec e_{R}}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}}$

$\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \vec p(\vec r^{\prime}) \nabla^{\prime} (\frac{1}{R})d v^{\prime}$

结合公式 $\nabla \cdot (\frac{\vec p}{R}) =\vec p \cdot \nabla (\frac{1}{R})+\frac{1}{R}\nabla \cdot\vec p$

变换一下形式可以得到 $\nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) =\vec p(\vec r^{\prime}) \cdot \nabla^{\prime} (\frac{1}{R})+\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})$

代入 $\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \vec p(\vec r^{\prime}) \nabla^{\prime} (\frac{1}{R})d v^{\prime}$

可以得到

$\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) -\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d v^{\prime}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) d V^{\prime}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}$

利用高斯公式

$\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) d V^{\prime}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{S} \frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}\cdot \vec S$

可以得到

$\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) d V^{\prime}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{S} \frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}\cdot d\vec S^{\prime}+\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}$

如果取 $\rho_{p}=-\nabla \cdot \vec p,\sigma_{p}=\vec p \cdot \vec e_{n}$

可以得到

$\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{S} \frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}\cdot \vec S+\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_S \frac{\sigma_{p} dS^{\prime}}{R}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_S \frac{\rho_{p} dV^{\prime}}{R}$

由此我们就可以把电介质产生的电位等效成体电荷和面电荷产生的

此时我们引入各向同性和线性的电介质，进一步简化极化

使得电极化强度和电场无关， $\vec p=X_{e}\varepsilon_{0}\vec E$

E是合成电场的场强，此处只需要记得，关于为什么各向同性和线性的介质满足这个性质，暂时先不用管，当成一种模型记住

高斯定律的简化

$\oint_{S}\vec E \cdot \vec S=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_v (\rho_p+\rho) dv$

$\oint_S \varepsilon_0 \vec E \cdot d \vec S=\int_V \rho dV +\int_V (-\nabla \cdot \vec p)d V$

结合高斯定律

$\oint \varepsilon_0 \vec E \cdot d \vec S+\oint_S \vec p \cdot d \vec S=\int_{V} \rho dV$

$\oint (\varepsilon_0 \vec E + \vec p) \cdot d \vec S=\int_{V} \rho dV$

我们引入电位移矢量

$\varepsilon_0 \vec E+\vec p=\vec D$

化简得 $\oint \vec D \cdot d \vec S=\int_{V} \rho dV$

$\vec D=\varepsilon_0 \vec E+\vec p=\varepsilon_0 \vec E+X_e\varepsilon_0 \vec E=\varepsilon_0(1+X_e)\vec E$

我们令 $\varepsilon=\varepsilon_0(1+X_e)\vec E$ ，称为电介质的介质常数

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