论文题目：Recursive interlocking puzzles

声明:文中所有观点仅代表个人见解，若有不妥之处欢迎指正。

这篇论文于2012年被 SCI 1区 "ACM TRANSACTIONS ON GRAPHICS"录用。

1. Overview

2.Method

2.1 Step 1: 确定Pi（key piece）

(1) 选择一个seed voxel作为key piece构建的基石

（2）计算体素的可访问性

（3）确保key piece 的阻塞性和可移动性

（4）扩展key piece

（5）确定key piece

2.2 Step 2: 确定Pi+1

（1）候选seed voxel

（2）构建初始Pi+1

（3）确保局部联锁

（4）扩展Pi+1（同2.1）

（5）确定Pi+1（同2.1）

1. Overview

recursive interlocking：只能按照固定的顺序，一块一块拼图移除，若前一个拼图没有移除，则后一个无法移除

在本文方法，每一步中唯一可以移动的拼图叫做key piece

S → [P1, R1] → [P1, P2, R2] → ... → [P1, ...Pn, Rn] .

（a) 模型体素化，并作为输入S

（b）确定key piece P1（首先移除的拼图），剩下的体积为R1 --- [P1,R1]

（c）从R1中找到下一个key piece P2，剩下体积为R2 --- [P1,P2,R2]

（d）以此类推，直到将模型所有部分都移除

2.Method

Declaration：拼图只能沿着唯一方向平移移除，一旦进行平移，就认为该块拼图已经完全移除。

整个方法可以分为两步，第一步确定Pi，就是每一步中的key piece,第二步确定Pi+1，就是下一步的key piece. 通过recursive interlocking的规则，可以总结出Pi及Pi+1 的特点：

Pi: 能够第一个被移除；只能从一个方向被移除；simply connected (整个模型在拼图移除前后都是单联通的)

Pi+1：Pi没有移除时，Pi+1不能移动，且Pi+1与Pi不能同时移动；Pi移除后，Pi+1可以移除；Pi+1与R+1也需要是simply connected

2.1 Step 1: 确定Pi（key piece）

(1) 选择一个seed voxel作为key piece构建的基石

识别模型中的体素，有且只有两个面是模型外表面，且其一的面法向竖直向上（如上图粉色体素），这些体素作为seed voxel的候选，从中随机/根据用户喜好选择一个作为seed voxel。

面法向竖直向上原因：由于一般情况下，模型都是竖直放置的，所以将key piece的默认移动方向认定为竖直向上，这样在没有移除key piece时，模型更加稳定。

（2）计算体素的可访问性

因为确定Pi后，剩下的体积需simply connected，为了减小确定key piece之后剩余体积被分割成多个部分的可能性，这里计算体素的可访问性（即递归地计算体素地邻居体素地个数）。若邻居体素越少，可访问性越小，越不好访问，越容易被碎片化（分割开）（这一类体素大多是边界体素，如下图红色越深，可访问性越低）。所以在构建key piece时，优先将可访问性低地体素包含进去。

（3）确保key piece 的阻塞性和可移动性

阻塞性指阻碍剩余体积（Ri）的移动

首先识别seed voxel两个外表面中，除法向竖直向上以外的另一个面的法向vn，然后广度优先搜索Nb1个体素对。（体素对中，vn正向一侧的是blocking体素，反向的是blockee体素。）从Nb1个体素对中选择Nb2个体素对，其blockee体素的可访问性最小。

然后按照三个策略构建key piece:

①阻碍key piece沿着vn方向移动（因为默认移动方向是竖直方向，为保持这一唯一可移动方向），计算从seed voxel到blockee voxel的最短路径，注意不能穿过blocking voxel及其下方体素（利用blocking voxel 阻碍key piece沿vn方向的移动）然后将选择的路径上的所有体素都添加到key piece中。

②为了确保key piece能够竖直向上移动，将所选择的路径上方的所有体素都添加进来。

到此为止，我们就得到了不能沿vn移动，可以沿竖直向上移动的key piece.

③一开始的seed voxel只有两个可移动方向，但是在田家庵提速的过程中，就会导致出现其他的可移动方向，但我们还要保证key piece只能沿唯一方向移动。

识别anchor 体素（下图中A，对于多个方向存在多个anchor）：沿着最初被阻塞的方向（一开始不能被移动的方向）到seed voxel最远且直接连接的体素。

如果anchor体素始终保持在剩余部分，不添加到key piece中，就可以保证key piece在被阻塞的方向上始终都是不可移动的。（下图所示为二维示意图）

（4）扩展key piece

为了平衡拼图之间的尺寸（所包含的体素个数）

对构建的key piece，识别它的anchor voxel，然后识别待添加的体素的候选集{ui}，这些待添加的体素在key piece的旁边，且不在anchor voxel 的位置或其上方。并且候选集中的体素，要识别其上方的体素（因为该体素被添加，其上方的体素也需要被添加，才能保证竖直向上可移动）。计算ui中每个体素及其上方体素的可访问性，然后将这个值作为体素被选择的概率，从ui中选择可访问性更低的m个体素。当key piece中的体素个数够了，就将剩下的体素从ui中移除。

N为模型体素化后的所有体素数量；K为拼图数量

（5）确定key piece

这是得到的key piece符合了所有要求，但之前提到，Pi, Pi+1, Ri+1, 其中Pi+1，Ri+1都要求是simply conneted。以下图为例，P1已经确定，P2尚未确定，为确保R2是simply connected, 将Pi紧挨的体素记为Rs，判断R2是否能访问到所有Rs，若不能，就说明不是simply connected。

2.2 Step 2: 确定Pi+1

（1）候选seed voxel

也是从seed voxel开始，di是Pi的移动方向。因为Pi+1是由Pi阻碍无法移动，所以Pi+1至少有一个体素在Pi旁边。且每一移动只能移动一个拼图，所以Pi+1和Pi的移动方向是不同的。

所以这里选取的候选seed voxel是挨在Pi旁边的，且连接面的法向与di垂直

为了减少候选体素的数量减少到10个，遵循以下标准：较小的可访问性；更小的路径最远距离（这是因为距离越短，涉及到的体素越少，在构建拼图时，初始的体素越少，之后建立时灵活性越高）

（2）构建初始Pi+1

对于每一个候选seed voxel，识别其沿着di+1方向上的所有体素，然后确定一条从seed voxel连接到这些体素的最短路径，然后为了使之能够在di+1方向移动，添加其余所需体素。确定路径后，计算这些候选体素的可访问性的和，选取最小的，就是初始Pi+1。

（3）确保局部联锁

现在已经确定Pi+1可以在di+1方向上移动，接下来要确保其在其他五个方向上不能移动：

这里局部联锁指的是当Pi和Ri+1存在的时候，Pi+1不可移动；Pi+1不能和Pi一起移动。

为满足局部联锁，这里需要对这五个方向每个都进行是否可移动的检查（如果Ri+1或Pi有任何一个体素在d方向上挨着Pi+1，那么Pi+1就不能移动）。

（4）扩展Pi+1（同2.1）

（5）确定Pi+1（同2.1）

实验部分及结论部分参照论文，不做赘述。

Thanks for reading！

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1. Overview

2.Method

2.1 Step 1: 确定Pi（key piece）

(1) 选择一个seed voxel作为key piece构建的基石

（2）计算体素的可访问性

（3）确保key piece 的阻塞性和可移动性

（4）扩展key piece

（5）确定key piece

2.2 Step 2: 确定Pi+1

（1）候选seed voxel

（2）构建初始Pi+1

（3）确保局部联锁

（4）扩展Pi+1（同2.1）

（5）确定Pi+1（同2.1）

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