表格法轻松理解扩展欧几里得算法以及利用其求乘法逆元
文章目录
- 扩展欧几里得算法
- 求乘法逆元
扩展欧几里得算法
具体算法的原理参见扩展欧几里得算法求乘法逆元，本文仅以表格的形式展现计算过程，浅显易懂。下面通过例子进行说明。
例：求1234和4321的最大公约数，并将其表示为整系数的线性组合。
解： 根据定理内容列出以下表格，其中i为计算次数，ri 为原数及余数 ，qi 为商，xi yi 为新加的数，表格内数字的来历将在下面说明。
| i | ri | qi | xi | yi |
|---|---|---|---|---|
| -1 | 4321 | 1 | 0 | |
| 0 | 1234 | 0 | 1 | |
| 1 | 619 | 3 | 1 | -3 |
| 2 | 615 | 1 | -1 | 4 |
| 3 | 4 | 1 | 2 | -7 |
| 4 | 3 | 153 | -307 | 1075 |
| 5 | 1 | 1 | 309 | -1082 |
| 6 | 0 | 3 |
由表格可知，gcd(1234,4321)=1，且整系数线性组合为4321×309+1234×(-1082)=1
以下对表格数字来历进行说明：
i的前两个数固定为 -1 和 0，xi 以及 yi 的前两个数分别固定为1、0和0、1，ri 的前两个数字为已知两数按大小排列，其余各数的计算过程以前三行数字为例：
紫色的619和粉色的3分别是橙色的4321与1234相除的余数和商，i==1行蓝色的1是由(红色的1)-(粉色的0粉色的3)得出来的，即1=1 - 3 * 0，同理i==1行蓝色的-3=(黄色的0)-(粉色的3粉色的1)得出来的，即-3=0 - 3 * 1，下面几行数字同理，以下一行为例，615和1分别为1234除以619的余数和商，-1=0 - 1 * 1，4=1 - 1 * -3，直到算到ri为0为止（本步不计入），此时的xi与yi即为所求系数，即4321×309+1234×(-1082)=1，ri为最大公约数，即gcd(1234,4321)=1
求乘法逆元
通过上述扩展欧几里得算法，可以得到1234mod4321的乘法逆元为最后一步的yi，即 -1082，将负数调整为正数即 -1028+4321=3239，故1234*3239≡1(mod 4321)，同理，4321mod1234的乘法逆元为最后一步的xi，即4321*309≡1(mod 1234)
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