FRM模型一：BSM期权定价模型
模型一：Black-Scholes-Merton模型
最近在学习Frm课程，发现有很多模型可以用python实现出来，于是查阅了一些资料，准备将相关内容用python实现。复现的第一个模型就是大名鼎鼎的期权定价模型——BSM模型。
一、期权定价公式
1. 欧式看涨期权
C = S 0 N ( d 1 ) − X e − r T N ( d 2 ) C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2) C=S0N(d1)−Xe−rTN(d2)
其中 S 0 S_0 S0表示标的资产价格，X表示标的资产行权价，r表示连续复利的无风险利率， σ \sigma σ表示股票回报率的年度波动率。 N ( d 1 ) N ( d 2 ) N(d_1)N(d_2) N(d1)N(d2)表示累积正态概率。
d 1 , d 2 d_1,d_2 d1,d2的计算公式如下：
d 1 = ln S 0 X + ( r + σ 2 2 ) T σ T d_1=\frac{\ln{\frac{S_0}{X}}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} d1=σT lnXS0+(r+2σ2)T
d 2 = d 1 − σ T d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} d2=d1−σT
代码实现
# BSM Option Valuation FRM1B4
# Black-Scholes-Merton (1973) European Call & Put Valuation
import math
from scipy import stats# Valuation on European Call Option
def BSM_call_value(S,X,T,r,sigma):'''Parameters:S: underlying price, floatX: strike price, floatT: maturity date, floatr: risk-free rate, floatsigma: volatility, floatReturns:Value: present value of the European call option, float'''d1 = (math.log(S/X) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)value = (S * stats.norm.cdf(d1, 0, 1) - X * exp(-r * T) * stats.norm.cdf(d2, 0, 1))return value2. 欧式看跌期权
已知欧式看涨期权，计算欧式看跌期权时也可以用买卖权平价公式（Put-Call Parity）。这里为了更好地理解BSM模型，所以仍然采用BSM模型来计算看跌期权的公式。
P = X e − r T N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d 1 ) P=Xe^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1) P=Xe−rTN(−d2)−S0N(−d1)
这里字母的含义和看涨期权相同。
代码实现
# Valuation on European Put Option
def BSM_put_value(S,X,T,r,sigma):'''Parameters:S: underlying price, floatX: strike price, floatT: maturity date, floatr: risk-free rate, floatsigma: volatility, floatReturns:Value: present value of the European put option, float'''d1 = (math.log(S/X) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)value = (X * exp(-r * T) * stats.norm.cdf(-d2, 0, 1) - S * stats.norm.cdf(-d1, 0, 1))return value二、BSM公式中的变量
此处frm教材中未涉及，参考《衍生工具与风险管理》（第七版）一书，Don M.Chance, Robert Brooks著。
1. 希腊字母
1.1 delta
d e l t a = N ( d 1 ) delta=N(d_1) delta=N(d1)
代码实现
# BSM Call Greeks
def BSM_delta(S,X,T,r,sigma):'''Parameters:S: underlying price, floatX: strike price, floatT: maturity date, floatr: risk-free rate, floatsigma: volatility, floatReturns:delta: float'''d1 = (math.log(S/X) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))delta = stats.norm.cdf(d1, 0, 1)return delta1.2 gamma
g a m m a = e − d 1 2 2 S 0 σ 2 π T gamma=\frac{e^{-\frac{d_1^2}{2}}}{S_0\sigma\sqrt{2\pi T}} gamma=S0σ2πT e−2d12
代码实现
def BSM_gamma(S,X,T,r,sigma):'''Parameters:S: underlying price, floatX: strike price, floatT: maturity date, floatr: risk-free rate, floatsigma: volatility, floatReturns:gamma: float'''d1 = (math.log(S / X) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))gamma = math.exp(-0.5 * d1 ** 2) / (S * sigma * math.sqrt(2 * math.pi * T))return gamma1.3 theta
t h e t a = − S 0 σ e − d 1 2 2 2 2 π T − r X e − r T N ( d 2 ) theta=-\frac{S_0\sigma e^{-\frac{d1^2}{2}}}{2\sqrt{2\pi T}}-rXe^{-rT}N(d_2) theta=−22πT S0σe−2d12−rXe−rTN(d2)
代码实现
def BSM_theta(S,X,T,r,sigma):d1 = (math.log(S / X) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)theta = -(S * math.exp(-0.5 * d1 ** 2) * sigma / (2 * math.sqrt(2 * math.pi * T)) - r * X * math.exp(-r * T)*stats.norm.cdf(d2, 0, 1))return theta1.4 rho
R h o = T X e − r T N ( d 2 ) Rho=TXe^{-rT}N(d_2) Rho=TXe−rTN(d2)
代码实现
def BSM_rho(S,X,T,r,sigma):d1 = (math.log(S / X) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)rho = X * T * math.exp(-r * T) * stats.norm(d2, 0, 1)return rho1.5 vega
v e g a = S 0 T e − d 1 2 2 2 π vega=\frac{S_0\sqrt{T}e^{-\frac{d_1^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} vega=2π S0T e−2d12
代码实现
def BSM_vega(S,X,T,r,sigma):d1 = (math.log(S / X) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))vega = S * math.sqrt(T) * math.exp(-0.5 * d1 ** 2) / math.sqrt(2 * math.pi)return vega
2. 隐含波动率的计算
此处参考《Python金融大数据分析》一书，Yves Hilpisch著。
隐含波动率是使BSM模型价格等于期权当前市场价格的标准差值。在BSM模型中，已知看涨期权的价格、S、X、T和r，求解 σ \sigma σ值。但BSM模型是没有办法直接解出 σ \sigma σ的，只能通过不断代入新的 σ \sigma σ值，直到有一个 σ \sigma σ值使得BSM模型求解出的看涨期权价格刚好等于市场价格。解决这种多数方程寻找近似根常用的方法就是牛顿迭代法。
牛顿迭代法的解读可参考这篇知乎文章：知乎-牛顿迭代法解读
牛顿迭代法下的隐含波动率求解公式
σ n + 1 i m p = σ n i m p − C ( σ n i m p ) − C ∂ C ( σ n i m p ) / ∂ σ n i m p \sigma_{n+1}^{imp}=\sigma_{n}^{imp}-\frac{C(\sigma_{n}^{imp})-C}{\partial C(\sigma_n^{imp})/\partial \sigma_n^{imp}} σn+1imp=σnimp−∂C(σnimp)/∂σnimpC(σnimp)−C
其中波动率的偏微分又称为Vega，所以上述公式变为：
σ n + 1 i m p = σ n i m p − C ( σ n i m p ) − C V e g a \sigma_{n+1}^{imp}=\sigma_{n}^{imp}-\frac{C(\sigma_{n}^{imp})-C}{Vega} σn+1imp=σnimp−VegaC(σnimp)−C
代码实现
# Implied Volatility of European call option in BSM model
def BSM_call_imp_vol(S,X,T,r,c,sigma_est,iter = 100):'''Parameters:S: underlying price, floatX: strike price, floatT: maturity date, floatr: risk-free rate, floatsigma_est: estimate of implied volatility, floatiter:number of iternationsReturns:sigma_est: estimate of implied volatility'''for i in range(iter):sigma_est += ((BSM_call_value(S,X,T,r,sigma_est) - c)/ BSM_vega(S,X,T,r,sigma_est))return sigma_estFRM模型一：BSM期权定价模型相关推荐
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