[离散数学]命题逻辑P_2：命题联结词
[离散数学]命题逻辑P_2：命题联结词
- 前言
- 1. 引入
- 注意
- 例子
- 2. 否定联结词
- 定义
- 例子
- 3. 合取联结词
- 定义
- 例子
- 注意
- 例子
- 4. 析取联结词
- 定义
- 例子
- 注意
- 例子
- 5. 蕴涵联结词
- 定义
- 例子
- 注意
- 例子
- 蕴涵联结词示例
- 5. 蕴涵联结词
- 定义
- 例子
- 总结
前言
第二讲：命题逻辑
数理逻辑，就是用数学的方法研究逻辑推理的规律。
命题逻辑是指以逻辑运算符结合原子命题来构成代表“命题”的公式，以及允许某些公式建构成“定理”的一套形式“证明规则”。
本文命题联结词是命题逻辑的第二部分。
1. 引入
注意
回顾复合命题中，一般是通过联结词和标点符号将简单命题联结成复杂的语句，最常见的联结词主要有以下五种:
“或者”、“并且”、“不”、“如果……则……”、“当且仅当”
例子
- 四川不是一个国家；
- 3既是素数又是奇数；
- 张谦是大学生或是运动员；
- 如果周末天气晴朗，则我们将到郊外旅游；
- 两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部相等。
2. 否定联结词
定义
设PPP是任意一个命题，复合命题“非PPP”（或“P的否定”）称为PPP的否定式（negation），记作¬P\lnot P¬P，“¬\lnot¬”为否定联结词。PPP为真当且仅当¬P\lnot P¬P为假。
例子
- PPP：四川是一个国家。
- ¬P\lnot P¬P：四川不是一个国家。
| PPP | ¬P\lnot P¬P |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
“¬\lnot¬”是自然语言中的“非”、“不”、“没有”等的逻辑抽象。
3. 合取联结词
定义
设P、QP、QP、Q是任意两个命题，复合命题“PPP并且QQQ”（或“PPP和QQQ”）称为PPP与QQQ的合取式（conjunction），记作P∧QP\land QP∧Q，“∧\land∧”为合取联结词。P∧QP\land QP∧Q为真当且仅当PPP，QQQ同为真。
例子
- P：3P：3P：3是素数；
- Q：3Q：3Q：3是奇数。
- P∧Q：3P\land Q：3P∧Q：3既是素数又是奇数。
| PPP | QQQ | P∧QP\land QP∧Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
注意
“∧\land∧”是自然语言中的“并且”、“既…又…”、“但”、“和”、“与”、“不仅…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…，一面…”等的逻辑抽象；但不是所有的“和”，“与”都要使用合取联结词表示，要根据句子的语义进行分析。
“但”、“虽然…但是…”：对内容有转折含义，在逻辑上呈合取 - 同时发生。
例子
- 2和3的最小公倍数是6；
- 点a位于点b与点c之间。
这两个命题是简单命题，不能再分。
4. 析取联结词
定义
设P、QP、QP、Q是任意两个命题，复合命题“PPP或QQQ”称为PPP与QQQ的析取式(disjunction)，记作P∨QP\lor QP∨Q，“∨\lor∨”为析取联结词。P∨QP\lor QP∨Q为真当且仅当PPP，QQQ至少有一个为真。
例子
- PPP：张谦是大学生；
- QQQ：张谦是运动员。
- P∨QP\lor QP∨Q：张谦是大学生或是运动员。
| PPP | QQQ | P∨QP\lor QP∨Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
注意
联结词“∨\lor∨”是自然语言中的“或”、“或者”等的逻辑抽象。自然语言中的“或”有“可兼或”（或称为同或）、“不可兼或”（即异或）两种。严格来讲，析取联结词实际上代表的是可兼或，异或有时会使用单独的异或联结词“⊕\oplus⊕”或“∨‾\overline{\lor }∨”来表示。
暂时可以使用可兼或来替代不可兼或，不会对现阶段逻辑推理造成影响。
例子
命题：张红生于1982年或1983年，令
- PPP：张红生于1982年；
- QQQ：张红生于1983年。
PPP与QQQ不能同时为真，即为“不可兼或”。
5. 蕴涵联结词
定义
设P、QP、QP、Q是任两个命题，复合命题“如果PPP，则QQQ”称为PPP与QQQ的蕴涵式(implication)，记作P→QP\rightarrow QP→Q，“→\rightarrow→”为蕴涵联结词。P→QP\rightarrow QP→Q为假当且仅当PPP为真且QQQ为假。一般把蕴含式P→QP\rightarrow QP→Q中的PPP称为该蕴含式的前件，QQQ称为蕴含式的后件。
例子
- PPP：周末天气晴朗；
- QQQ：我们将到郊外旅游。
- P→QP\rightarrow QP→Q：如果周末天气晴朗，则我们将到郊外旅游。
| PPP | QQQ | P→QP\rightarrow QP→Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
当PPP为真时，QQQ为真则P→QP\rightarrow QP→Q为真；QQQ为假则P→QP\rightarrow QP→Q为假。
当PPP为假时，为何P→QP\rightarrow QP→Q都为真呢？
注意
在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句的意义，往往无法判断。但对于数理逻辑中的蕴涵联结词来说，当前件PPP为假时，不管QQQ的真假如何，则P→QP→QP→Q都为真。此时称为“善意推定"。
例子
命题：如果角AAA和角BBB是对顶角，则角AAA等于角BBB。真命题
这个命题是我们非常熟悉的一个定理，为真命题。
所以当前件为假时，这个定理依然成立。
蕴涵联结词示例
设PPP：约翰学习微积分，QQQ：约翰是大学一年级学生
。则以下的复合命题均可用P→QP→QP→Q表示。
- 如果约翰学习微积分，则他是大学一年级学生。如果PPP，则QQQ
- 因为约翰学习微积分，所以他是大学一年级学生。因为PPP，所以QQQ
- 只要约翰学习微积分，他就是大学一年级学生。只要PPP，就QQQ
- 约翰学习微积分仅当他是大学一年级学生。PPP仅当QQQ
- 只有约翰是大学一年级学生，他才能学习微积分。只有QQQ，才PPP
- 除非约翰是大学一年级学生，他才能学习微积分。除非QQQ，才PPP
- 除非约翰是大学一年级学生，否则他不学习微积分。除非QQQ，否则¬P\lnot P¬P
所有七种情况表达PPP是QQQ的前提条件，如果PPP则QQQ，即P→QP→QP→Q。
5. 蕴涵联结词
定义
设PPP、QQQ是任两个命题，复合命题“PPP当且仅当QQQ”称为РРР与QQQ的等价式(equivalence)，记作P↔QP \leftrightarrow QP↔Q，“↔\leftrightarrow↔”为等价联结词（也称作双条件联结词）。P↔QP \leftrightarrow QP↔Q为真当且仅当PPP、QQQ同为真假。
例子
- PPP：两个三角形全等；
- QQQ：三角形的三条边全部相等。
- P↔QP \leftrightarrow QP↔Q：两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部相等。
| PPP | QQQ | P↔QP\leftrightarrow QP↔Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
“↔\leftrightarrow↔”是自然语言中的“等价”、“充分必要条件”、“当且仅当”等的逻辑抽象。
总结
本文介绍了命题逻辑中的命题联结词部分，对命题逻辑有进一步的了解。
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