背景

一个平平无奇的下午，领导突然问我会不会做区间估计，我心想：啊哈，这不是我的老本行么？终于可以创造价值了！我摩拳擦掌，跃跃欲试，准备大展身手。结果嘛，反而给咋们学统计的丢脸了！学艺不精惹的祸，之前学的知识差不多忘了，搜集了大半个小时的资料，凭借着自己模糊的记忆才想起来的。
根据领导整理出来的数据，他需要我把七日差值跟28日差值分别看作一个整体，然后估计总体均值的范围。

理论基础

对于单个正态总体X，
（注：实际业务中，“总体分布为正态分布”这一论断有待检验，检验的方法也有很多种，最简单的方法就是画QQ图或者经验分布函数图初步观察判断，后续可以做W检验等等）
如果X服从于N(μ,σ2)X服从于N(\mu,\sigma^2)X服从于N(μ,σ2)，那么总体的均值Xˉ\bar{X}Xˉ服从正态分布，即：
Xˉ服从于N(μ,σ2/n)\bar{X}服从于N(\mu,\sigma^2/n)Xˉ服从于N(μ,σ2/n)

方差已知

当方差已知时，若想对均值进行区间估计，那么可以构造枢轴量
Z=Xˉ−μσ/nZ=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}Z=σ/nXˉ−μ
由于ZZZ服从于标准正态分布，这时就好办了，我们可以通过查分位数表，进而反解出置信区间。
假如我们给定置信度为95%，即α=0.05\alpha=0.05α=0.05，有
P(∣Z∣≤z0.025)=0.95P(\vert Z\vert \leq z_{0.025})=0.95P(∣Z∣≤z0.025)=0.95
其中z0.025z_{0.025}z0.025是上0.025分位数，也就是
P(−z0.025≤Z≤z0.025)=0.95P( -z_{0.025} \leq Z \leq z_{0.025})=0.95P(−z0.025≤Z≤z0.025)=0.95
通过查表或者利用R语言的qnorm(0.975)分位数函数，可知上α\alphaα分位数z0.025=1.959964z_{0.025}=1.959964z0.025=1.959964。（注：上α\alphaα分位数和分位数是两个不同的概念）
反解得关于均值为μ\muμ，置信度为95%的双侧置信区间为
[Xˉ−σnZα/2,Xˉ+σnZα/2][\bar{X}- \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2},\bar{X}+ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}][Xˉ−nσZα/2,Xˉ+nσZα/2]

方差未知

但是在实际情况下，既然我们连总体均值都不知道，那又怎么能知道总体的方差呢？这时就需要构造另外一个枢轴量
T=Xˉ−μs/nT=\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}T=s/nXˉ−μ
此时T服从于t(n−1)t(n-1)t(n−1)分布
同样的，我们依旧可以反解出关于μ\muμ的置信区间为：
[Xˉ−sntα/2(n−1),Xˉ+sntα/2(n−1)][\bar{X}- \frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1),\bar{X}+ \frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)][Xˉ−nstα/2(n−1),Xˉ+nstα/2(n−1)]
其中tα/2(n−1)t_{\alpha/2}(n-1)tα/2(n−1)是自由度为n-1的上α/2\alpha/2α/2分位数，通过R语言的关于t分布的分位数函数qt(p,df)得知，其中p=1−α/2p=1-\alpha/2p=1−α/2，df是自由度n-1。

上机实战

方法一：Excel

最笨的办法就是按照公式把均值、方差都算出来，然后查一下上α\alphaα分位数，最后加加减减就可以把结果算出来了。当然，对Excel用得滚过烂熟的大佬可能一分钟就搞定了。
计算结果附图(红框就是最终结果)：

统计量	公式
均值	=AVERAGE(J2:J457)
方差	=VAR.P(J2:J457)
标准差	=SQRT(J459)
n	=COUNTA(J2:J457)
根号n	=SQRT(J461)
qt(0.975,456)	1.96518
左	=J458-J460*J463/J462
右	=J458+J460*J463/J462

结果很简单，关键是理解原理，知道用那个模型来做。

方法二：R语言

1、读入数据

R软件是不能直接导入xlx、xlsx文件，首先得把xlx、xlsx文件转换为txt、csv形式的文件。
在转换为csv或txt的过程中，只能转换其中一个工作表，如果有多个sheet，那么会出现下面这种提示：

所以只能一个一个转化sheet啦
我这转换成了txt格式的，部分数据如下：

ok，在转换的过程时，如果是多维变量，要保证不能有缺失值，要不然在用read.table("路径")读入的过程中就会出现以下提示：

当然，用scan("路径")也可以读入，但是这个函数对于矩阵来说就不太友好了，不太好处理了，一维的还能用。
okk，接下来，还得做一件事情，就是要把txt文件所在的文件夹在RStudio里面设置为working directory（在session里面）
最后可以正常读入数据了

w <-read.table("data.txt")
w

读入的数据如下：

处理数据

R语言的t.test()可以做假设检验的同时也可以做区间估计
比如我要对w的第一列数据的均值进行区间估计，可以这样：

t.test(w[,1])

结果如下：

红色框框就是置信区间啦，另外，这组样本的均值为1.256692
两行代码就解决了，unbiliveble！
还是那句老话，虽然代码简单，关键是知道用什么模型来做区间估计。比如说这里用的是t.test()这个函数估计，但是用chisq.test()也会有一个结果。别慌，不要乱！如果是单个总体，t.test()是对总体均值的估计，chisq.test()是对总体方差的估计。

本人水平有限，如文章有说错或说得不好的地方，请各位指正。

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