2020ICPC沈阳 - United in Stormwind(推公式+FWT+SOSdp)

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题目大意：规定一张试卷上有 mmm 个问题，每个问题只有 A,BA,BA,B 两个选项，现在给出 nnn 张试卷。需要选择一个问题的子集，使得有大于等于 kkk 对试卷的答案是不完全相同的，问这样的子集有多少个

题目分析：若将选项转换为 000 或 111，试卷视为 010101 串，那么两个试卷相同，当且仅当异或和等于 000。

设 aia_iai 为第 iii 个试卷所代表的 010101 串， F(S)F(S)F(S) 为异或和等于 SSS 的 010101 串对的个数，则

F(S)=∑i=1n∑j=in[ai⊕aj=S]F(S)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i}^{n}{[a_i\oplus a_j=S]}F(S)=i=1∑nj=i∑n[ai⊕aj=S]

不难发现可以转换为卷积的形式，设 num[x]num[x]num[x] 为 xxx 的出现次数，则

F(S)=12∑i⊕j=Snum[i]∗num[j]F(S)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i\oplus j=S}num[i]*num[j]F(S)=21i⊕j=S∑num[i]∗num[j]

设 G(T)G(T)G(T) 为问题集合为 TTT 时，有多少对试卷是不相同的，则

G(T)=∑T∩S≠∅F(S)G(T)=\sum\limits_{T\cap S\neq \varnothing}F(S)G(T)=T∩S=∅∑F(S)

容斥一下

G(T)=n22−∑T∩S=∅F(S)=n22−∑S⊂(U−T)F(S)G(T)=\frac{n^2}{2}-\sum\limits_{T\cap S= \varnothing}F(S)=\frac{n^2}{2}-\sum\limits_{S\subset (U-T)}F(S)G(T)=2n2−T∩S=∅∑F(S)=2n2−S⊂(U−T)∑F(S)

可能有些同学会有疑问，为什么这里突然出来一个 n22\frac{n^2}{2}2n2，因为根据 F(S)F(S)F(S) 的定义，F(S)F(S)F(S) 的最大值是这个数，所以设置为 FFF 函数的“全集”。

然后 UUU 是全集，U−TU-TU−T 自然也就是 TTT 的补集。

到此公式就推完了，F(S)F(S)F(S) 可以用 FWTFWTFWT 快速求解，G(T)G(T)G(T) 可以用 SOSdpSOSdpSOSdp 快速求解

代码：

// Problem: United in Stormwind
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/18713/M
// Memory Limit: 2097152 MB
// Time Limit: 4000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e6+100;
char s[N];
double F[N];
LL G[N];
void FWTxor(double *f,double x,int len)
{for(int mid=1;(mid<<1)<=len;mid<<=1){int R=mid<<1;for(int i=0;i<len;i+=R)for(int j=0;j<mid;j++){f[i+j]=f[i+j]+f[i+j+mid];f[i+j+mid]=f[i+j]-f[i+j+mid]-f[i+j+mid];f[i+j]=f[i+j]*x;f[i+j+mid]=f[i+j+mid]*x;}}
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m;LL k;read(n),read(m),read(k);for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%s",s);int state=0;for(int j=0;j<m;j++) {if(s[j]=='A') {state|=(1<<j);}}F[state]+=1.0;}FWTxor(F,1,1<<m);for(int i=0;i<1<<m;i++) {F[i]*=F[i];}FWTxor(F,0.5,1<<m);for(int i=0;i<1<<m;i++) {G[i]=LL(F[i]/2);}for(int j=0;j<m;j++) {for(int i=0;i<1<<m;i++) {if(i>>j&1) {G[i]+=G[i^(1<<j)];}}}int ans=0;for(int i=0;i<1<<m;i++) {if(1LL*n*n-G[i]*2>=k*2) {ans++;}}cout<<ans<<endl;return 0;
}

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