[UVALive - 4329] Ping pong 树状数组入门

题目链接：Ping pong

题意

给你n个数，你从中取3个数，要求中间的数字大小在两边数字之间。问你总共有多少种取法。

题解

这个题首先需要分析转化。

假设第i个人作为中间数
a1～ai−1有ci个数小于ai，那么有(i−1−ci)个数大于ai；{a_1～a_{i-1}有c_i个数小于a_i，那么有(i-1-c_i)个数大于a_i；}a1～ai−1有ci个数小于ai，那么有(i−1−ci)个数大于ai；
ai+1～an有di个数小于ai，那么有(n−i−di)个数大于ai{a_{i+1}～a_n有d_i个数小于a_i，那么有(n-i-d_i)个数大于a_i}ai+1～an有di个数小于ai，那么有(n−i−di)个数大于ai

那么ans=∑i=1n(ci∗(n−i−di)+di∗(i−1−ci)){ans=\sum_{i=1}^n(c_i*(n-i-d_i)+d_i*(i-1-c_i))}ans=∑i=1n(ci∗(n−i−di)+di∗(i−1−ci))

显而易见，这个题就可以转化为求解ci和di。{c_i和d_i。}ci和di。

由于本题对位置有要求所以无法排序，如果暴力的话，你需要O(n2){O(n^2)}O(n2)的时间复杂度，很明显会超时。此时可以用树状数组来维护一个以ai{a_i}ai为下标的二叉索引树x，那么x[a[i]]代表a[i]出现的次数，此时ci=x1+x2+....+xi−1{c_i=x_1+x_2+....+x_{i-1}}ci=x1+x2+....+xi−1，每遇到一个aia_iai，就add(a[i],1)。同理di{d_i}di就倒着遍历计算即可。树状数组计算前缀和的时间复杂度为O(logr)r为ai的上限{O(logr)r为a_i的上限}O(logr)r为ai的上限，所以总体时间复杂度为O(nlogr){O(nlogr)}O(nlogr)。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&(-x)const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=2e5+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int a[maxn],n,c[maxn],d[maxn];
int x[maxm];
int sum(int d)
{ll sum=0;while(d>=1) {sum+=x[d]; d-=lowbit(d);}return sum;
}
void add(int d) {while(d<=100000) {x[d]+=1;d+=lowbit(d);}
}
int main()
{int t;cin >> t;while(t--){cin >> n;for(int i=1;i<=n;i++) cin >> a[i];memset(x, 0, sizeof(x));for(int i=1;i<=n;i++){c[i]=sum(a[i]);add(a[i]);}memset(x, 0, sizeof(x));for(int i=n;i>=1;i--){d[i]=sum(a[i]);add(a[i]);}ll sum=0;for(int i=1;i<=n;i++)sum+=c[i]*(n-i-d[i])+d[i]*(i-1-c[i]);cout << sum << endl;}
}

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