弗洛伊德算法思想理解

最近考研复习到图的一些算法，但书上对这些算法解释只是一笔带过，更多的是如何做，如何使用。对于我这种又笨又固执的人来说，无疑非常难受，甚至一开始想不明白这个地方，但又说不出来，所以昨天很长时间都在思考这个算法是为什么。

看了很多博客，发现也鲜有人去写怎么理解，大都是代码加栗子，接下来说说我从另一个方面的理解，如果有不对的地方，希望大家指正。
首先定义一下图的结构

typedef struct {char vex[MAXVERTEXNUM];   //顶点表int edge[MAXVERTEXNUM][MAXVERTEXNUM];   //邻接矩阵int vexnum;    //当前图的顶点数int edgenum;   //当前图的边数
}Graph;

弗洛伊德算法的核心代码

for(int k=0; k<g.vexnum; k++)          //最外层循环为中间顶点for(int i=0; i<g.vexnum; i++)      //i为起点for(int j=0; j<g.vexnum; j++)  //j为终点if(dist[i][j] > dist[i][k]+dist[k][j]) {//更新最短路径  若此处还需path矩阵应同步更新dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];}

核心代码非常简单，只有短短几行，便可寻找出图中任意两点之间的最短路径，真的非常佩服创造这些算法的前辈
接下来说说自己的一些理解：

从核心代码可以看出，每次更新的只是不超过3个点之间的最短路径，即在尝试向两点i，j之间插入第三点k。由此我产生了一个疑问，若两点之间的最短路径长度大于2，弗洛伊德算法是如何寻找到的呢？
两点之间的最短路径分为3种情况：无路径，路径长度为1或2(即有一个中间顶点)，路径长度大于2(即有多个中间顶点)
对于前两种情况可以通过弗洛伊德算法很好的得到，对于第三种情况，例如i和j之间的最短路径为i–>k1–>k2–>…–>km–>j，通过对最短路算法的分析，显然得该路径中任意两点ki，ki+2的最短路径仍属于该路径即ki–>k(i+1)–>k(i+2)，反过来说只要找到所有长度小于等于2的最短路径，就可以得到（组合为）任意两点之间的最短路径，因此（1）中的问题就解决了，也可以理解为弗洛伊德算法核心代码遍历的过程，对于比较长的最短路径来说就是不断寻找到中间顶点ki(1<=i<=m)的过程，而且寻找的顺序是无所谓的。

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