几何基础的五组二十条公理

几何基础的五组二十条公理
第一组──接合公理
I1 通过任意给定的两点有一直线。
I2 通过任意给定的两点至多有一直线。
I3 每一直线上至少有两点；至少有三点不同在直线上。
I4 通过任意给定的不共线三点有一平面；每一平面上至少有一点。
I5 至多有一平面通过任意给定的不共线三点。
I6 若直线a的两点A，B在平面α上，则a上所有点都在α上，这时直线a称为在平面α上，或平面α通过或含有a。
I7 若两平面有一公共点，则至少还有一公共点。
I8 至少有四点不同在一平面上。

第二组──顺序公理
II1 若点B介於两点A，C之间，则A，B，C是一直线上的互异点，且B也介於C，A之间。
II2 对於任意两点A，B，直线AB上至少有一点C存在，使B介於A，C之间。
II3 在共线三点中，一点介於其它两点间的情况不多於一次。
II4 设A，B，C是不共线的三点，a是平面ABC上不通过A，B，C中任一点的一直线，则若a有一点介於A，B之间那末它必还有一点介於A，C之间或介於B，C之间。

第三组──合同公理
III1 设A，B为一直线a上两点，A'为同一或另一直线a'上的点，则在a'上点A'的给定一测有一且只一点B'使线段AB合同於或等於线段A'B'：AB=A'B'，並且对於每一线段，要求AB=BA。
III2
设线段A'B'=AB，A''B''=AB，则也有A'B'=A''B''。

III3 设AB和BC是直线a上没有公共內点的两线段，而A'B'和B'C'是同一或另一直线a'上的两线段，也没有公共內点，如果这时有AB=A'B'，BC=B'C'，则也有AC=A'C'。
III4 在平面α上给定∠(h,k)，在同一或另一平面α'上给定直线a'，而且在平面α'的一侧。设h'是直线a'上以一点O'为原点的射线。那末在平面α'上直线a'的指定一侧，有一条且只有一条以O'为原点的射线k'使∠(h,k)=∠(h',k')。每个角都要求与自身合同，即∠(h,k)=∠(h,k)以及∠(h,k)=∠(h,k)。即是说：每个角可以唯一地放在给定平面上给定射线的给定一侧。
III5 设A，B，C是不共线三点，而A'，B'，C'也是不共线三点，如果AB=A'B'，AC=A'C'，∠BAC=∠B'A'C'，那末也就有∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'。

第四组──连续公理
IV1 （阿基米德公理）设AB和CD是任三线段，那末在直线AB上存在著有限个点A1，A2，…，An，排成这样：A1介於A和A2之间，A2介於A2和A3之间，以下类推，並且线段AA1，A1A2，…，An-1An都合同於线段CD，而且B介於A和An之间。
IV2 （康托公理）设在一直线ａ上有由线段组成的一个无穷序列A1B1，A2B2，…，其中在后的每一线段都被包含在前一个內部，並且任意给定一线段，总有一足码n使线段AnBn比它小。那末在直线ａ上存在一点Ｘ落在每个线段A1B1，A2B2，…的內部。

第五组──平行公理
V 通过直线外一点至多可引一直线平行於该直线。

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