数论基础之中国剩余定理（附证明）

前言

一直觉得中国剩余定理很难，因为怕麻烦一直没有去搞，直到区域赛网络赛在即，直到……退役赛在即。（果然DDL是原生动力，可能是爱得不够深吧）学了一下，觉得其实也没那么难，如果理解不了证明的话，看懂每个变量表示的含义，利用结论 x = ∑ i = 1 n a i M i t i x= \sum_{i=1}^n a_iM_it_i x=∑i=1naiMiti求解也可。

定理与证明

定理：若 m 1 , m 2 , . . . , m n m_1,m_2,...,m_n m1,m2,...,mn是两两互质的正整数， M = ∏ i = 1 n m i , M i = M / m i ， t i M=\prod_{i=1}^nm_i,M_i=M/m_i，t_i M=∏i=1nmi,Mi=M/mi，ti是线性同余方程 M i t i ≡ 1 ( m o d m i ) M_it_i\equiv1(mod \, m_i) Miti≡1(modmi)的一个解。对于任意n个整数 a 1 . a 2 , . . . , a n a_1.a_2,...,a_n a1.a2,...,an，则同余方程组
{ x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) . . . x ≡ a n ( m o d m n ) \begin{cases} x \equiv a_1(mod \, m_1) \\ x \equiv a_2(mod \, m_2) \\ ...\\ x \equiv a_n(mod \, m_n) \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)...x≡an(modmn)
有整数解，方程组的解为 x = a 1 M 1 t 1 + a 2 M 2 t 2 + . . . + a n M n t n x=a_1M_1t_1+a_2M_2t_2+...+a_nM_nt_n x=a1M1t1+a2M2t2+...+anMntn。且在模 M M M意义下有唯一解。
PS：要看清楚 M , M i , t i M,M_i,t_i M,Mi,ti分别表示什么含义，才容易理解。

证明：

∵ \because ∵ M i = M / m i M_i=M/m_i Mi=M/mi 是除 m i m_i mi 以外所有模数的倍数
∴ \therefore ∴ ∀ k ≠ i , a i M i t i ≡ 0 ( m o d m k ) \forall \, k \neq i, \,a_iM_it_i \equiv0(mod \, m_k) ∀k=i,aiMiti≡0(modmk)
∵ \because ∵ a i M i t i ≡ a i ( m o d m i ) a_iM_it_i \equiv a_i(mod \, m_i) aiMiti≡ai(modmi)
又 ( a + b ) % p = a % p + b % p (a + b) \%p=a \%p+b \%p (a+b)%p=a%p+b%p
∴ \therefore ∴ 将 x = ∑ i = 1 n a i M i t i x= \sum_{i=1}^n a_iM_it_i x=∑i=1naiMiti代入，原方程组成立
证毕。
（摘自：信息学奥赛一本通·提高版）

PS：如果不理解证明的话，可以尝试把 x = ∑ i = 1 n a i M i t i x= \sum_{i=1}^n a_iM_it_i x=∑i=1naiMiti代回任意一项 k k k，你会发现除了 ( a k M k t k ) % m k = a k (a_kM_kt_k)\%m_k=a_k (akMktk)%mk=ak外，别的项都是等于0，最终相加等于 a i a_i ai。（看不懂就慢慢模拟一遍嘛）

代码模板

/** m[i]是模数，a[i]是系数* 注意：m[i]之间必须两两互质*/
ll Crt(int n) {ll ans = 0, M = 1, Mi, xi, yi;for (int i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {Mi = M / m[i];extend_gcd(Mi, m[i], xi, yi);//保证求得的解为正整数ans = ((ans + Mi * xi * a[i]) % M + M) % M;}return ans;
}

模板题：#10212. 「一本通 6.4 例 4」曹冲养猪

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1005;
int n, a[maxn], m[maxn];
//快读
template <class T>
inline bool read(T &res) {char c; int sgn;if (c = getchar(), c == EOF) return 0;while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c =getchar();sgn = (c == '-') ? -1 : 1;res = (c == '-') ? 0 : (c - '0');while (c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') res = res * 10 + (c - '0');res *= sgn;return 1;
}
//快写
inline void write(ll x) {if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
//拓展欧几里德
ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {if (x == 0 && y == 0) return -1;if (b == 0) {x = 1; y = 0;return a;}ll d = extend_gcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}ll China(int n) {ll ans = 0, M = 1, Mi, xi, yi;for (int i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {Mi = M / m[i];extend_gcd(Mi, m[i], xi, yi);ans = ((ans + Mi * xi * a[i]) % M + M) % M;}return ans;
}int main()
{read(n);for (int i = 1; i <= n; i++) {read(m[i]); read(a[i]);}write(China(n));return 0;
}

//哪有那么快，看不懂就静心细看
//想看定理的由来可以直接看数论的书