二元连续型随机变量，联合概率密度

联合概率密度函数

定义：对于二元随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的分布函数 F(x,y)F(x, y)F(x,y)，如果存在非负函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y)，使对于任意 x,yx,yx,y，有

F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudvF(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u, v)\,{\rm d}u{\rm d}v F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv

称 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 为二元连续型随机变量。

并称 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 为二元随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 的 （联合）概率密度（函数）。

概率密度的性质

f(x,y)≥0f(x,y) \geq 0f(x,y)≥0
∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\, {\rm d}x {\rm d}y = 1∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1
设 DDD 是 xoyxoyxoy 平面上的区域，点 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 落在 DDD 内的概率为：

P((X,Y)∈D)=∬Df(x,y)dxdyP((X,Y)\in D) = \underset{D}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}yP((X,Y)∈D)=D∬f(x,y)dxdy

在 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 的连续点 (x,y)(x,y)(x,y),有 ∂2F(x,y)∂x∂y=f(x,y)\cfrac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}= f(x,y)∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y)

例 1： 设二元随机变量 (X,Y)(X,Y)(X,Y) 具有概率密度：

f(x,y)={ke−(2x+3y),x>0,y>00,其他f(x,y)= \begin{cases} ke^{-(2x+3y)}, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} f(x,y)={ke−(2x+3y),0,x>0,y>0其他

（1）求常数 kkk；
（2）求分布函数 F(x,y)F(x,y)F(x,y)；
（3）求 P(Y≤X)P(Y\leq X)P(Y≤X) 的概率。

解：（1）

1=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=∫0∞dx∫0∞ke−(2x+3y)dy=k∫0∞e−2xdx∫0∞e−3ydy=k(−12e−2x)0∞(−13e−3y)0∞=k/6⟹k=6\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} ke^{-(2x+3y)} \, {\rm d}y=k\int_{0}^{\infty}e^{-2x} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, {\rm d}y \\ &= k\left(-\cfrac{1}{2}\, e^{-2x}\right)_{0}^{\infty}\left(-\cfrac{1}{3}\, e^{-3y}\right)_{0}^{\infty} = k/6 \implies k = 6 \end{aligned} 1=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=∫0∞dx∫0∞ke−(2x+3y)dy=k∫0∞e−2xdx∫0∞e−3ydy=k(−21e−2x)0∞(−31e−3y)0∞=k/6⟹k=6

前面已得：

f(x,y){6e−(2x+3y),x>0,y>00,其他f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} f(x,y){6e−(2x+3y),0,x>0,y>0其他

（2）

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dxdy={∫0xdu∫0y6e−(2u+3v)dv,x>0,y>00,除第一象限={∫0x2e−2udu∫0y3e−3vdv,x>0,y>00,其他={(1−e−2x)(1−e−3y)x>0,y>00,其他\begin{aligned} F(x,y) &= P(X\leq x, Y\leq y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,{\rm d}u\int_{0}^{y}6e^{-(2u+3v)}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{除第一象限} \end{cases} \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,2e^{-2u}{\rm d}u\int_{0}^{y}3e^{-3v}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ &=\begin{cases} (1-e^{-2x})(1-e^{-3y}) & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{aligned} F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dxdy={∫0xdu∫0y6e−(2u+3v)dv,0,x>0,y>0除第一象限={∫0x2e−2udu∫0y3e−3vdv,0,x>0,y>0其他={(1−e−2x)(1−e−3y)0,x>0,y>0其他

前面已得：

f(x,y){6e−(2x+3y),x>0,y>00,其他f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} f(x,y){6e−(2x+3y),0,x>0,y>0其他

(3)

P(Y≤X)=∬y≤xf(x,y)dxdy=∫0∞dy∫y∞6e−(2x+3y)dx=∫0∞3e−3ye−2ydy=∫0∞3e−5dy=−35e−5y∣0∞=35\begin{aligned} P(Y\leq X) &= \underset{y\leq x}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty}\,{\rm d}y \int_{y}^{\infty}6e^{-(2x+3y)} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-3y}e^{-2y}\,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-5} \,{\rm d}y = -\cfrac{3}{5} e^{-5y} |_{0}^{\infty} = \cfrac{3}{5} \end{aligned} P(Y≤X)=y≤x∬f(x,y)dxdy=∫0∞dy∫y∞6e−(2x+3y)dx=∫0∞3e−3ye−2ydy=∫0∞3e−5dy=−53e−5y∣0∞=53

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