斐波那契数列 · C++

题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
要求0<=n<=100。

思路分析

01 递归法

class Solution {public:int fib(int n) {if(n<=0){return 0;}if(n==1){return 1;}return fib(n-1)+fib(n-2);}
};

图片来源这里

不得不说递归法效率真的太低了，原因是因为重复的计算太多了，所以我们只要想办法避免重复计算就行了。
比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，在下次需要计算的时候先查找一下，如果前面已经计算过就不用再重复计算了，但是需要O(n)的额外空间。这种方法叫做“记忆化递归法”。
所以，更简单的方法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)计算出f(2)，再根据f(1)和f(2)计算出f(3)…以此类推就可以计算出第n项了，时间复杂度为O(n)。这种方法叫“动态规划”。

优化1 记忆化递归法

使用数组存放计算过的结果，避免重复计算。

class Solution {public:int fib(int n) {if(n<=1) return n;int arr[n+2];使用数组存放计算的结果arr[0]=0;arr[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){arr[i]=(arr[i-1]+arr[i-2])%1000000007;//直接使用数组里的结果}return arr[n];}
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

优化2 动态规划

class Solution {public:int fib(int n) {if(n<2) return n;int a=0,b=1,c=0;for(int i=2;i<=n;i++){c=(a+b)%1000000007;a=b;b=c;}return c;}
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

斐波那契数列的应用：青蛙跳台阶问题。

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