Bezier曲线（附Python实现代码）

上一讲讲解了伯恩斯坦多项式，现在就开始对Bezier曲线进行研究。Bezier曲线采用伯恩斯坦多项式作为基函数。

首先，我们定义Bezier曲线的表达式:
C(t)=∑k=0nPkBkn(t)(1)\begin{aligned} \mathcal{C}(t) = \sum_{k=0}^n \mathbf{P}_k B_k^n(t) \end{aligned} \tag{1} C(t)=k=0∑nPkBkn(t)(1)

其中，(P)0≤k≤n\left( \mathbf{P} \right)_{0 \le k \le n}(P)0≤k≤n是Bezier的控制顶点。虽然该表达式看起来很简单，但还是不那么直观，下面我们使用代码实现一下Bezier曲线。

计算伯恩斯坦多项式的值

要绘制出Bezier曲线，首先需要先求出nnn次伯恩斯坦多项式在ttt处的值，这里我们使用伯恩斯坦多项式的递归定义
Bk,n(t)=(1−t)Bk,n−1(t)+tBk−1,n−1(t)B_{k,n}(t)=(1-t)B_{k,n-1}(t)+tB_{k-1,n-1}(t) Bk,n(t)=(1−t)Bk,n−1(t)+tBk−1,n−1(t)
代码实现如下

def all_bernstein(n, t):b = np.zeros(n+1)b[0] = 1.t1 = 1.-tfor j in range(1, n+1):saved = 0.for i in range(0, j):tmp = b[i]b[i] = saved + t1*tmpsaved = t*tmpb[j] = savedreturn b

计算Bezier曲线的值

我们根据式(1)，可以直接求得Bezier曲线在某一点处的值。伯恩斯坦多项式的次数根据控制顶点P\mathbf{P}P的个数确定。

def point_on_bezier_curve(P,t):n = len(P) - 1b = all_bernstein(n, t)c = 0.for k in range(0, n+1):c += b[k]*P[k]return c

一些例子

下面例子中的ts表示在参数域的采样点

def example_1():    nt = 200ts = np.linspace(0., 1., nt)P = np.zeros((2, 2))P[:, 0] = [0., 1.]P[:, 1] = [1., 0.]Q = np.zeros((nt, 2))for i,t in enumerate(ts):Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-b')plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--ok', linewidth=0.7)for i in range(0, 2):x,y = P[i,:]plt.text(x+0.05,y+0.05,'$\mathbf{P}_{' + str(i) + '}$')plt.axis([-0.2, 1.2, -0.2, 1.2])#ax = plt.axes()#ax.set_aspect('equal', 'box')example_1()

def example_3a():    nt = 200ts = np.linspace(0., 1., nt)P = np.zeros((4, 2))P[:, 0] = [1., 1., 0., -1.]P[:, 1] = [0., 1., 1.,  0.]Q = np.zeros((nt, 2))for i,t in enumerate(ts):Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-b')plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--ok', linewidth=0.7)for i in range(0, 3):x,y = P[i,:]plt.text(x+0.05,y+0.05,'$\mathbf{P}_{' + str(i) + '}$')i = 3x,y = P[i,:]plt.text(x-0.05,y+0.05,'$\mathbf{P}_{' + str(i) + '}$')plt.axis([-1.2, 1.2, -0.2, 1.2])#ax = plt.axes()#ax.set_aspect('equal', 'box')example_3a()

复合Bezier曲线

def plot_composite_bezier_curve():n = 2nt = 200ts = np.linspace(0., 1., nt)# ...P = np.zeros((3, 2))P[:, 0] = [1., 1., 0.]P[:, 1] = [0., 1., 1.]Q = np.zeros((nt, 2))for i,t in enumerate(ts):Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-r')plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--or', linewidth=0.7)# ...# ...P = np.zeros((3, 2))P[:, 0] = [0., -1., 0.]P[:, 1] = [1., -1., -1.]Q = np.zeros((nt, 2))for i,t in enumerate(ts):Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-b')plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--ob', linewidth=0.7)# ...# ...P = np.zeros((3, 2))P[:, 0] = [1., 1., 0.]P[:, 1] = [0., -1., -1.]Q = np.zeros((nt, 2))for i,t in enumerate(ts):Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-g')plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--og', linewidth=0.7)# ...#plt.axis('equal')#plt.title('Composite Bézier curve')plot_composite_bezier_curve()

一些Beizer曲线的性质

伯恩斯坦基函数次数=控制顶点数-1
控制顶点数=伯恩斯坦基函数的个数
伯恩斯坦基函数的个数=伯恩斯坦基函数次数+1
物理域的取值只和控制顶点的取值有关