泊松积分、伽马函数——公式干货总结

2024-06-30 05:06:50

文章目录

泊松积分：
伽马函数：
- 基本结论
- 性质
- 两种形式
常用公式表：

泊松积分：

最常用的两个：

∫−∞∞e−t2dt=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}∫−∞∞e−t2dt=π

∫0∞e−t2dt=π2\int_{0}^{\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}∫0∞e−t2dt=2π

伽马函数：

基本结论

Γ(1)=1，Γ(12)=π\Gamma(1)=1，\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}Γ(1)=1，Γ(21)=π

性质

Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)Γ(α+1)=αΓ(α)

如：Γ(3)=Γ(2+1)=2Γ(2)=2⋅1!=2\Gamma{(3)}=\Gamma(2+1)=2\Gamma{(2)}=2·1!=2Γ(3)=Γ(2+1)=2Γ(2)=2⋅1!=2

Γ(32)=Γ(12+1)=12Γ(12)=π2\Gamma(\frac{3}{2})=\Gamma(\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}Γ(23)=Γ(21+1)=21Γ(21)=2π

两种形式

Γ(n+1)=∫0∞xne−xdx=n!\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x}dx=n!Γ(n+1)=∫0∞xne−xdx=n!

或 Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx=(α−1)!\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx=(\alpha-1)!Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx=(α−1)!

如：Γ(3)=Γ(2+1)=2!=2\Gamma{(3)}=\Gamma(2+1)=2!=2Γ(3)=Γ(2+1)=2!=2

令x=t2x=t^2x=t2有第二种形式：

Γ(α)=2∫0∞t2α−1e−t2dt\Gamma(\alpha)=2\int_{0}^{\infty}t^{2\alpha-1}e^{-t^2}dtΓ(α)=2∫0∞t2α−1e−t2dt

如：2∫0∞t4e−t2dt=2∫0∞t2⋅52−1e−t2dt=Γ(52)=Γ(32+1)=32⋅12⋅Γ(12)=3π42\int_{0}^{\infty}t^{4}e^{-t^2}dt=2\int_{0}^{\infty}t^{2·\frac{5}{2}-1}e^{-t^2}dt=\Gamma{(\frac{5}{2})}=\Gamma(\frac{3}{2}+1)=\frac{3}{2}·\frac{1}{2}·\Gamma{(\frac{1}{2})}=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}2∫0∞t4e−t2dt=2∫0∞t2⋅25−1e−t2dt=Γ(25)=Γ(23+1)=23⋅21⋅Γ(21)=43π

常用公式表：

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