@跳跳棋@

@跳跳棋@
- @题目描述@
- @分析1@
- @分析2@
- @代码实现@
- @END~@

@题目描述@

Description
跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有3颗棋子，分别在a，b，c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x，y，z。（棋子是没有区别的）跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过1颗棋子。

写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。

Input
第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置a b c。（互不相同）
第二行包含三个整数，表示目标位置x y z。（互不相同）
Output
如果无解，输出一行NO。如果可以到达，第一行输出YES，第二行输出最少步数。

Sample Input
1 2 3
0 3 5
Sample Output
YES
2

【范围】
100% 绝对值不超过10^9

@分析1@

这道题真的很跳……

首先这样的题如果用绝对坐标(a, b, c)来做绝对不好做，所以考虑使用相对距离来表示点。对于三元组(a, b, c)将它表示为(l, r, m) = (b-a, c-b, m)，含义为：（左边点离中间点的距离，右边点离中间点的距离，中间点坐标）。

然后对于题目所提到的操作将操作拆为两种：边缘点往中间跳，中间点往两边跳。
当r>l时，左边点可以往中间跳，从(l, r, m)转移到了(l, r-l, m+l)
当l>r时，右边点可以往中间跳，从(l, r, m)转移到了(l-r, r, m-r)
中间点往两边跳没有附加条件，从(l, r, m)可以转移到(l, r+l, m-l)与(l+r, r, m+r)
这样就可以建图，问题转化为求图上两点最短距离。

但是……这还是不够。考虑到中间往两边跳是两边往中间跳的逆操作，我们可以给边定向，即只考虑两边往中间跳的操作。然后我们发现，对于某一个状态(l, r, m)，通过两边往中间跳的操作后，l和r不会变得更大，所以这是一个有向无环图。更进一步地，当l < r或l > r时，状态有唯一转移，否则状态无转移。联想到有根树上除根节点外每个节点只有一个父亲，根节点没有父亲。所以这其实是一颗树，且状态(l, r-l, m+l)或(l-r, r, m-r)是状态(l, r, m)的父节点，当 l = r 时状态(l, r, m)是根节点。

问题转化为求树上两点最短距离。
再简单转化，就是求树上两点的LCA。

@分析2@

分析到这一步已经很不容易，但是还还还不够……
考虑到我们一般做LCA的方法：倍增法。先 O(log2n) O ( l o g 2 n ) O(log_2n)的时间将两个点跳到相同深度，再一级一级地同时往上跳直到两个点相同。但是倍增法我们需要 O(n) O ( n ) O(n)的dfs预处理，所以此处并不适用。

再观察一下这个转移的定义：

当r>l时，左边点可以往中间跳，从(l, r, m)转移到了(l, r-l, m+l)
当l>r时，右边点可以往中间跳，从(l, r, m)转移到了(l-r, r, m-r)

再联想一下gcd的减法形式gcd(x, y) = gcd(y, x-y) = gcd(x-y, y) ( x > y )

是不是有点像？对于某一个状态，假设 l < r，则(l, r-l, m+l)，(l, r-2l, m+2l)，…，(l, r%l, m+r/l*l)都是状态(l, r, m)的祖先。但是！与gcd算法不同的是，如果r%l=0的话则不能跳到最上面的节点，因为在最后的时候 l 将会等于 r。

因为gcd的复杂度可以证明得到不超过 log(n) l o g ( n ) log(n)，所以我们就有了一个代替倍增的玩意儿。
具体来说，我们先求出两个点的深度，以及两个点所在树的根节点。比较根节点判断是否有解。
【为了简称，我们称(l, r, m)到达(l, r%l, m+r/l*l)为“大步跳”】【作者太Lazy了233】
然后，对于深度较大的节点，假如它通过“大步跳”到达的节点深度比另外一个节点大，则它就直接跳到深度相同的地方；否则就跳到“大步跳”到达的节点，并继续迭代。
再然后，取两个点“大步跳”到达的点中深度较大的点，假如说在这个点之前它们就已经相遇了，就直接跳到相遇的点作为它们两个点的LCA；否则就同时往上跳到深度较大的点的深度，并继续迭代。

@代码实现@

非常丑陋……不建议参考。
如果还有什么不懂的地方就评论在下面吧，作者会尽力解疑的。
【这道题太毒瘤啦……建图卡死人，LCA卡死人，竟然冒出来个gcd……】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll min(ll a, ll b) {return a < b ? a : b;
}
ll rootl, rootr, rootm;
ll dep(ll l, ll r, ll m) {if( l == 0 || r == 0 ) {rootl = l, rootr = r, rootm = m;if( l == 0 ) rootl = r, rootm += r;if( r == 0 ) rootr = l, rootm -= l;return 0;}if( r > l )return dep(l, r%l, m+r/l*l) + r/l;else return dep(l%r, r, m-l/r*r) + l/r;
}
void sort(ll &a, ll &b, ll &c) {if( a > b ) swap(a, b);if( b > c ) swap(b, c);if( a > b ) swap(a, b);
}
int main() {ll a, b, c, x, y, z;scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &x, &y, &z);sort(a, b, c), sort(x, y, z);ll l1 = b-a, r1 = c-b, m1 = b;ll l2 = y-x, r2 = z-y, m2 = y;ll d1 = dep(l1, r1, m1);ll rl = rootl, rr = rootr, rm = rootm;ll d2 = dep(l2, r2, m2);if( rootl != rl || rootr != rr || rootm != rm ) {puts("NO");return 0;}else puts("YES");ll ans = 0;while( d1 != d2 ) {if( d1 > d2 ) {if( r1 > l1 ) {ll k = min(r1/l1, d1-d2);d1 -= k, ans += k;l1 = l1, m1 = m1 + k*l1, r1 = r1 - k*l1;}else {ll k = min(l1/r1, d1-d2);d1 -= k, ans += k;r1 = r1, m1 = m1 - k*r1, l1 = l1 - k*r1;}}else {if( r2 > l2 ) {ll k = min(r2/l2, d2-d1);d2 -= k, ans += k;l2 = l2, m2 = m2 + k*l2, r2 = r2 - k*l2;}else {ll k = min(l2/r2, d2-d1);d2 -= k, ans += k;r2 = r2, m2 = m2 - k*r2, l2 = l2 - k*r2;}}}while( l1 != l2 || r1 != r2 || m1 != m2 ) {ll k;if( r1 > l1 ) {if( r2 > l2 ) {if( r1/l1 > r2/l2 )k = r2/l2;else k = r1/l1;d1 -= k, d2 -= k, ans += 2*k;l1 = l1, m1 = m1 + k*l1, r1 = r1 - k*l1;l2 = l2, m2 = m2 + k*l2, r2 = r2 - k*l2;}else {if( r1/l1 > l2/r2 ) {if( l2 % r2 == 0 )k = (m2-m1)/(r2+l1);else k = l2/r2;
/*
如果两个点能跳到同一节点，则：l1=l2-k*r2,r2=r1-k*l1,m1+k*l1=m2-k*r2
解方程可得k，下面同理
*/}else {if( r1 % l1 == 0 )k = (m2-m1)/(r2+l1);else k = r1/l1;}d1 -= k, d2 -= k, ans += 2*k;l1 = l1, m1 = m1 + k*l1, r1 = r1 - k*l1;r2 = r2, m2 = m2 - k*r2, l2 = l2 - k*r2;}}else {if( r2 > l2 ) {if( l1/r1 > r2/l2 ) {if( r2 % l2 == 0 ) k = (m1-m2)/(r1+l2);else k = r2/l2;}else {if( l1 % r1 == 0 )k = (m1-m2)/(r1+l2);else k = l1/r1;}d1 -= k, d2 -= k, ans += 2*k;r1 = r1, m1 = m1 - k*r1, l1 = l1 - k*r1;l2 = l2, m2 = m2 + k*l2, r2 = r2 - k*l2;}else {if( l1/r1 > l2/r2 )k = l2/r2;else k = l1/r1;d1 -= k, d2 -= k, ans += 2*k;r1 = r1, m1 = m1 - k*r1, l1 = l1 - k*r1;r2 = r2, m2 = m2 - k*r2, l2 = l2 - k*r2;}}}printf("%lld\n", ans);
}

@END~@

就是这样，新的一天里，也请多多关照哦(ノω<。)ノ))☆.。~

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