变阻抗控制理论基础、公式推导

注：..代表省略了一些符号

1、机器人建模：在人机交互环境中，机器人欧拉-拉普拉斯动态可以表示为：

$M\left ( q \right )\ddot{q}+C\left ( q,\dot{q} \right )\dot{q}+G\left ( q \right )+D\dot{q}=\tau -\tau _{c}$

q关节角向量，M惯性矩阵，C向心力和科氏力扭矩，G重力向量，D粘性摩擦力， $\tau$ 控制输入， $\tau _{c}$ 环境力/交互力（contact）

用弹簧-阻尼-质量系统来简化柔性机械臂，想象人与机械臂柔性交互。

$M_{d}\left (\ddot{q} )+B_{d}\left (\dot{q} \right )+K_{d}\left (q \right )=\tau _{e }$

*机械臂动力学建模所使用的动力学方程一般有两种形式：

欧拉-兰格朗日方程(E-L方程)： $L=K+P$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}=\tau _{i}, i=1,..,n$

牛顿-欧拉方程：

2、问题建模，力位混合控制（运动跟踪 $q_{d}$ ..和力跟踪 $\tau _{d}$ ）：

期望阻抗动态（弹簧-阻尼-质量系统）可以表示为：

$M_{d}\left ( \ddot{q} \right_{d}-\ddot{q} )+B_{d}\left ( \dot{q}_{d}-\dot{q} \right )+K_{d}\left (q_{d} -q \right )=\tau _{d }-\tau _{c}$

$q_{d}$ ..期望关节位置、速度、加速度向量。 $M_{d}$ ..期望质量、阻尼、刚度矩阵。

$M_{d}\left ( \ddot{X}_{d}-\ddot{X} )+B_{d}\left ( \dot{X}_{d}-\dot{X} \right )+K_{d}\left (X_{d} -X\right )=F _{d }-F_{c}=-F_{e}$

$X_{d}$ 期望笛卡尔位置、速度、加速度。 $F_{e}$ 力跟踪误差。

简化阻抗动态（弹簧-阻尼系统）可以表示为：

$M_{d}\left ( \ddot{q} )+B_{d}\left ( \dot{q}_{d}-\dot{q} \right )+K_{d}\left (q_{d} -q \right )=-\tau _{e }/\tau _{c}$

* 对胡可定律的解释。一种解释，外力F与弹簧恢复力kx反向相反，带负号。另一种解释，恢复力（内力）F与弹簧形变量方向相同。也可以像知乎上用因果关系理解，形变产生恢复力，恢复力与外力符号相反。弹簧内力产生形变，内力与形变方向相同。后一种解释之所以奇怪，是它不是以机器人为对象用力守恒来建模。前一种解读是，针对机械臂末端力的守恒角度列出的方程。对于机器人末端，系统用运动补偿环境接触力，可以看成机械臂对外界环境的柔顺。这里使用前一种解读。

参考博文：机器人阻抗控制概念，https://blog.csdn.net/xiaohejiaoyiya/article/details/88015682

3、变阻抗控制的一些问题

$M_{d}\left (\ddot{q} )+B_{d}\left (\dot{q} \right )+K_{d}\left (q \right )=\tau _{e }$

3.1 控制单个系数变化：

1. 调整惯性参数M，使接触值的稳定值增大或减小

2. 增大阻尼参数D，使力响应的超调减小，力峰值显著下降。但过大的阻尼会增长响应时间。

3. 刚度系数K直接反应了机械手与环境交互时呈现刚性还是柔性，减小刚度系数会使接触力变小。

3.2 一些相关应用场景、使用算法和控制效果

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