1.什么是滑模变结构控制

在开始介绍滑模变结构控制之前，最好先学习一些线性控制的基础，知道什么是李亚普诺夫函数，怎么判断系统稳定性，有一点相轨迹的基础。有了这些基础知识才可以理解这篇文章。好了，废话不多说了，让我们开始滑模变结构控制之旅吧。
我们先从一个例子开始吧，假设有一个二阶系统如下：
{ x 1 ˙ = x 2 x 2 ˙ = 2 x 2 − x 1 + u \left\{\begin{matrix} \dot{x_{1}}=x_{2}\\ \dot{x_{2}}=2x_{2}-x_{1}+u \end{matrix}\right. {x1˙=x2x2˙=2x2−x1+u
假设我们令 u = − k x 1 u=-kx_{1} u=−kx1,其中k的值取4和-4。
当 k = 4 k=4 k=4时，上式可以改写如下
{ x 1 ˙ = x 2 x 2 ˙ = 2 x 2 − 5 x 1 \left\{\begin{matrix} \dot{x_{1}}=x_{2}\\ \dot{x_{2}}=2x_{2}-5x_{1} \end{matrix}\right. {x1˙=x2x2˙=2x2−5x1
令 y = x 1 , y ˙ = x 2 y=x_{1},\dot{y}=x_{2} y=x1,y˙=x2,则上式可以改写为 y ¨ − 2 y ˙ + 5 y = 0 \ddot{y}-2\dot{y}+5y=0 y¨−2y˙+5y=0该微分方程有一对共轭复根 λ 1 , 2 = 1 ± 2 i \lambda _{1,2}=1\pm 2i λ1,2=1±2i,它的实部为正，是一个不稳定系统，其相轨迹图如下
k=4

k=-4

从图中可以看出，不管k=4还是-4，系统都无法稳定，此时过相坐标系原点做一条直线，直线方程如下： s = y ˙ + y = 0 s=\dot{y}+y=0 s=y˙+y=0其中s直线上方s>0,s直线下方s<0,如上图所示。打阴影的部分是ys<0的部分，其余部分ys>0，ys表示y乘以s。此时我们按下面的方程取k：当ys>0时，k=4；ys<0时，k=-4。 k = { 4 , y s > 0 − 4 , y s < 0 k=\left\{\begin{matrix} 4 ,& ys>0 & \\ -4, & ys<0 & \end{matrix}\right. k={4,−4,ys>0ys<0此时相轨迹图变换如下：
直线s=0与y=0（即 y ˙ \dot{y} y˙轴）将坐标系分为四个区域，ys>0时，k=4；ys<0时，k=-4。你会发现系统的相轨迹最终会运动到s=0这条直线上，而 s = y ˙ + y = 0 s=\dot{y}+y=0 s=y˙+y=0,它具有负的特征根 λ = − 1 \lambda =-1 λ=−1,因此在s=0这条直线上的点最终会收敛到 y = 0 , y ˙ = 0 y=0,\dot{y}=0 y=0,y˙=0,即坐标原点。此时系统就可以稳定，这个控制方法就是滑模变结构控制。
变结构指的是控制u在4x与-4x之间的切换，滑模指在s=0这条直线上滑动到原点。因此滑模变结构控制器设计也包括两部分，一是能从状态空间的任何位置有限时间到达滑模面s=0，二是在滑模面上可以收敛到原点（平衡点）。

2.滑模变结构的一些基本知识

由上例的图形可知，s=0两侧的相轨线都吸引向切换线 s=0。因此状态轨线一旦到达直线s=0上，就沿此直线收敛到原点。
这种沿s=0滑动至原点的特殊运动称为滑动模态运动，直线s=0称为切换线（切换面）或切换流形（switching manifold）,相应函数称为切换函数。
考虑一般情况，系统表述如下： x ˙ = f ( x ) , x ∈ R n \dot{x}=f(x),x\in R^{n} x˙=f(x),x∈Rn在系统状态空间存在超曲面 s ( x ) = s ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ) = 0 s(x)=s(x_{1},x_{2},\cdot \cdot \cdot x_{n})=0 s(x)=s(x1,x2,⋅⋅⋅xn)=0,如下图所示：

它将状态空间分为上下两个部分：s>0与s<0,在切换面上的运动点有三种情况：
1.常点，即图中A点。系统运动点运动到切换面s=0时，并不停留在切换面上，而是穿越此点，在A点旁边，满足以下关系： s ˙ > 0 , s > 0 \dot{s}>0,s>0 s˙>0,s>0 s ˙ > 0 , s < 0 \dot{s}>0,s<0 s˙>0,s<0当处于s=0上方即s>0时，s不断变大,远离s=0；当处于s=0下方即s<0时，s不断变大,接近s=0。（也可以从s>0穿越到s<0，方向与A处箭头反向）
2.起点，如图中B点。系统运动点到达切换面s=0附近时，从切换面的两边离开该点，在B点附近，满足以下关系： s ˙ > 0 , s > 0 \dot{s}>0,s>0 s˙>0,s>0 s ˙ < 0 , s < 0 \dot{s}<0,s<0 s˙<0,s<0
3.止点，如图中C点。系统运动点到达切换面s=0附近时，从切换面的两边趋向于止点，并停留在切换面上。在C点附近满足以下关系： s ˙ > 0 , s < 0 \dot{s}>0,s<0 s˙>0,s<0 s ˙ < 0 , s > 0 \dot{s}<0,s>0 s˙<0,s>0
由第一节可知，我们在设计滑模变结构控制器时，需要让状态空间中的点有限时间到达滑模面s=0，即图中C点，所以我们在设计控制器时得满足C点条件，在s>0时， s ˙ < 0 \dot{s}<0 s˙<0;s<0时， s ˙ > 0 \dot{s}>0 s˙>0。

3.滑模控制器设计

通过前两章的介绍，我们理清了要设计滑模控制器需要满足以下条件：
1.稳定性条件：在s=0的滑模面上，状态是收敛的，即滑动模态存在；
2.可达性条件：在切换面s=0以外的运动点将于有限时间内到达切换面；
3.保证滑模运动的稳定性；
4.达到控制系统运动品质要求。
接下来开始根据这四个条件来叙述如何设计滑模变结构控制器，首先是滑动模态存在

针对线性系统 x ˙ = A x + b u \dot{x}=Ax+bu x˙=Ax+bu可以设计如下的滑模面 s ( x ) = ∑ i = 1 n − 1 c i x i + x n s(x)=\sum_{i=1}^{n-1}c_{i}x_{i}+x_{n} s(x)=i=1∑n−1cixi+xn在滑模控制中，要保证多项式 p n − 1 + c n p n − 2 + . . . + c 2 p + c 1 p^{n-1}+c_{n}p^{n-2}+...+c_{2}p+c1 pn−1+cnpn−2+...+c2p+c1为Hurwitz(简单来说这条条件是为了满足状态在s=0的滑模面上可以收敛)什么是Hurwitz，即上述多项式的特征值的实数部分在左半平面，即为负，下面举例说明：
当n=2时， s ( x ) = c 1 x 1 + x 2 s(x)=c_{1}x_{1}+x_{2} s(x)=c1x1+x2,为了保证多项式p+c1为Hurwitz，需要多项式p+c1=0的特征值实数部分为负，即c1>0.

接下来介绍可达性条件，即状态x从状态空间中任意一点出发，可以在有限时间到达s=0的滑模面上，此时我们可以采用李雅普诺夫间接法来分析，从前面可知，切换函数s是状态变量x的函数，取以下的李雅普诺夫函数 V = 1 2 s 2 V=\frac{1}{2}s^{2} V=21s2对时间求导可得 V ˙ = s s ˙ \dot{V}=s\dot{s} V˙=ss˙为了使系统稳定，我们需要使 V ˙ < 0 \dot{V}<0 V˙<0,即 s s ˙ < 0 s\dot{s}<0 ss˙<0,此时系统对于s而言是渐进稳定，不能保证其有限时间到达s=0的滑模面上(渐进稳定是当t趋于无穷时，状态变量x趋于0，即无限时间到达)，因此需要 s s ˙ < − σ s\dot{s}<-\sigma ss˙<−σ， σ \sigma σ是一个极小的正数。
但是每次设计总不能都用李雅普诺夫函数判断，于是人们就提出了趋近律这一概念，常用的趋近律有如下几种：
1.等速趋近律： s ˙ = − ε s g n ( s ) \dot{s}=-\varepsilon sgn(s) s˙=−εsgn(s), ε > 0 \varepsilon>0 ε>0。sgn(s)是符号函数，s>0时，sgn(s)=1;s<0时,sgn(s)=-1;s=0,sgn(s)=0。
2.指数趋近律： s ˙ = − ε s g n ( s ) − k s \dot{s}=-\varepsilon sgn(s)-ks s˙=−εsgn(s)−ks, ε > 0 , k > 0 \varepsilon>0,k>0 ε>0,k>0。
3.幂次趋近律： s ˙ = − k ∣ s ∣ α s g n ( s ) − k s \dot{s}=-k |s|^{\alpha }sgn(s)-ks s˙=−k∣s∣αsgn(s)−ks, k > 0 , 1 > α > 0 k>0,1>\alpha>0 k>0,1>α>0。至于趋近律怎么使用，看第四节的例子，毕竟理论毕竟没有实操刺激）

4.滑模控制器例子

随意举一个简单例子如下： { x 1 ˙ = x 2 x 2 ˙ = x 3 x 3 ˙ = x 1 + x 2 x 3 + u \left\{\begin{matrix} \dot{x_{1}}=&x_{2}& \\ \dot{x_{2}}=&x_{3}& \\ \dot{x_{3}}=&x_{1}&+&x_{2}x_{3}+u \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧x1˙=x2˙=x3˙=x2x3x1+x2x3+u设计一个镇定控制器，使系统稳定
设计步骤如下：
Step1.先设计切换函数s，其中切换函数s为Hurwitz，s设计如下： s = x 3 + 2 x 2 + x 1 s=x_{3}+2x_{2}+x_{1} s=x3+2x2+x1其中 c 1 = 1 , c 2 = 2 c_{1}=1,c_{2}=2 c1=1,c2=2,多项式可以写为 p 2 + 2 p + 1 p^{2}+2p+1 p2+2p+1,该多项式具有两个相同的特征根-1，满足Hurwitz条件，s设计完毕。
Step2.设计切换函数的导数，使系统满足可达性条件，即有限时间到达滑模面。对切换函数s求导 s ˙ = x 3 ˙ + 2 x 2 ˙ + x 1 ˙ \dot{s}=\dot{x_{3}}+2\dot{x_{2}}+\dot{x_{1}} s˙=x3˙+2x2˙+x1˙将系统方程代入，替换掉 x 3 ˙ , x 2 ˙ , x 1 ˙ \dot{x_{3}},\dot{x_{2}},\dot{x_{1}} x3˙,x2˙,x1˙,可得 s ˙ = x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 2 x 3 + u \dot{s}=x_{1}+x_{2}+2x_{3}+x_{2}x_{3}+u s˙=x1+x2+2x3+x2x3+u我们可以看到， s ˙ \dot{s} s˙中出现我们想要设计的控制u，但此时我们无法得到u，因为我们不知道 s ˙ \dot{s} s˙是多少。这时我们前面提到的趋近律就起了作用，我们令 s ˙ \dot{s} s˙=趋近律，就可以算出u，这个u就是滑模控制器的控制律。例如，取指数趋近律 − s g n ( s ) − s -sgn(s)-s −sgn(s)−s,那么 u = − s − s g n ( s ) − x 1 − x 2 − 2 x 3 − x 2 x 3 u=-s-sgn(s)-x_{1}-x_{2}-2x_{3}-x_{2}x_{3} u=−s−sgn(s)−x1−x2−2x3−x2x3 s ˙ = − s g n ( s ) − s \dot{s}=-sgn(s)-s s˙=−sgn(s)−s
Step3.稳定性证明，取李雅普诺夫函数 V = 1 2 s 2 V=\frac{1}{2}s^{2} V=21s2对李亚普诺夫函数求导 V ˙ = s s ˙ \dot{V}=s\dot{s} V˙=ss˙ V ˙ = − ∣ s ∣ − s 2 \dot{V}=-|s|-s^{2} V˙=−∣s∣−s2李亚普诺夫函数的导数是严格负定的，因此系统渐进稳定，即s会趋于0，又因为 s = x 3 + 2 x 2 + x 1 s=x_{3}+2x_{2}+x_{1} s=x3+2x2+x1因此 x 3 , x 2 , x 1 x_{3},x_{2},x_{1} x3,x2,x1都趋于0，达到了使系统镇定的目的，控制器设计完成，控制律如下 u = − s − s g n ( s ) − x 1 − x 2 − 2 x 3 − x 2 x 3 u=-s-sgn(s)-x_{1}-x_{2}-2x_{3}-x_{2}x_{3} u=−s−sgn(s)−x1−x2−2x3−x2x3
接下来我会用Matlab simulink来验证控制器设计的正确性（下一章）

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通俗理解滑模变结构控制(1)

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1.什么是滑模变结构控制

2.滑模变结构的一些基本知识

3.滑模控制器设计

4.滑模控制器例子

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