数值方法求π和π的x次方

求π
求lnπ
求π的x次方
重中之重：误差分析

学习了数值分析这门课，老师留了一个作业是设计数值方法求π的x次方（x范围为1到10）
具体步骤如下（老师要求的，就是想让你多用用几种数值方法，让你多解几步）

求π
利用上一步的π求lnπ
利用上一步的lnπ求π的x次方
误差分析
不难
但是误差分析很麻烦，因为要考虑每一步的误差对下一步的影响，还需要考虑舍入误差和方法误差，误差分析在文章的末尾

求π

求解π的方法有很多，现在只讨论用计算机怎么求π。一般有下面这三种求法
1.泰勒展开
2.BBP公式
3.高斯勒让德算法（最好的一种）
这三种方法具体可以参考https://blog.csdn.net/xfxyy_sxfancy/article/details/48378121
这个博文很详细我就不再废话了，下面给出泰勒展开求π的C++代码，展开40项即可得到很精确的结果

    int h1,i,t;double dsqrt3=2*sqrt(3);//dsqrt为2倍的根号3，是一个常量pi=dsqrt3;h1=1; //h1为正1或负1for(i=1;i<40;i++)//采用泰勒展开方法求π{t=2*i+1;h1=-h1;pi=pi+h1*dsqrt3/t/pow(3,i);}cout << "π的值：";cout << fixed << setprecision(15)<< pi << endl;

求lnπ

可以用数值积分的方式求

注意：上式中的π用的是第一步求出的π
数值积分有很多方法，比如梯形公式，辛普森公式等等
我采用的是复合辛普森公式（可能不是最好的），原理如下

C++代码如下

    double h=(pi-1)/500;//pi即为上一步求的πlnpi=1+1/pi;//设定初值for(i=1;i<500;i++)//采用复合辛普森公式求数值积分{x2=1+i*h;x1=1+i*h-h/2;lnpi=lnpi+4/x1+2/x2;}lnpi=lnpi+4/(pi-h/2);lnpi=lnpi/6*h;cout << "lnπ的值：";cout << fixed << setprecision(15)<< lnpi << endl;

求π的x次方

要求用到前两步的结果，我采用求解常微分方程的方法

求解常微分方程也有很多方法，如各种欧拉法，龙格库塔，等等
我采用的是四阶龙格库塔公式，如下

C++代码如下，给了个龙格库塔的函数，该函数输入
x：几次方
n：区间分为几份，份数越多越精确
输出：pix，即结果，表示π的x次方

double RungKutta(double x,double n)//四阶龙格-库塔公式
{double pix,K1,K2,K3,K4,h;pix = 1.0;h=x/n;for(int i=0;i<n;i++){K1 = derivative(pix);K2 = derivative(pix+0.5*h*K1);K3 = derivative(pix+0.5*h*K2);K4 = derivative(pix+h*K3);pix = pix+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;}return pix;
}
double derivative(double y)//y（x）的导数，用于微分方程求解
{return (lnpi*y);//lnpi即自己求出的lnπ
}

重中之重：误差分析

这一部分的分析很多，足足有四页，因此在这里就不放了，详情请见评论区我给的链接，点开就是