Luogu 3645 [APIO 2015] 雅加达的摩天楼

传送门
思路
正解
参考代码
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传送门

思路

唉，我太弱了，我都看出来要分块了，就是做不来。不过终于把题读对了。

先来看子任务三怎么做。显然可以有一个 O(m2) O ( m 2 ) O(m^2) 的连边，然后直接跑最短路就可以了。但是分好少啊 QAQ，所以我们来看子任务四。我们将在同一个位置的 doge 构成一个零环，然后只向不在同一个位置的 doge 连边，且对于每个位置最多只连接一次边。这样的时间复杂度就是 O(nm) O ( n m ) O(nm) 的了。

注意，连边只能是 doge 连 doge，不能在位置上跳着跳着连。例如，如果非要把位置作为结点，则只能连 1→3 1 → 3 1 \to 3， 1→5 1 → 5 1 \to 5（注意还要加上边权），不能连两条边权为 1 1 1 的 1→3" role="presentation" style="position: relative;">1→31→31 \to 3， 3→5 3 → 5 3 \to 5。（想一想，为什么）

正解

我们可以拆点。我们令位置为结点，对于每个位置，我们把它拆成 k+1 k + 1 k + 1 个结点，其中 k k k 为参数。对于被拆的点，我们从 0" role="presentation" style="position: relative;">000 开始编号， 0 0 0 号点表示位置本身，i(i>0)" role="presentation" style="position: relative;">i(i>0)i(i>0)i \pod {i > 0} 号点表示“ i i i 步快速通道”，即向左右的 i" role="presentation" style="position: relative;">iii 步快速通道连一条边权为 1 1 1 的边。

如上图，如果某个位置有一个跳跃能力为 k" role="presentation" style="position: relative;">kkk 的 doge，我们就从那个位置的 0 0 0 号点向 k" role="presentation" style="position: relative;">kkk 步快速通道连一条边权为 0 0 0 的有向边。另外，我们要保证能够从快速通道回到原结点，所以所有快速通道都要向原结点连一条边权为 0" role="presentation" style="position: relative;">000 的有向边。

其实，这个做法与其叫拆点，不如叫拆边：

边太多了，真难受

这下好多了（雾）

显然这么做会有 O(nk) O ( n k ) O(nk) 个结点，多出 O(nk) O ( n k ) O(nk) 条边，因此 k k k 不能太大，也不能太小。对于跳跃能力小于 k" role="presentation" style="position: relative;">kkk 的情况，我们选择建立快速通道，额外时间复杂度为 O(1) O ( 1 ) O(1)；对于剩下的我们暴力建边，额外时间复杂度 O(nk) O ( n k ) O(\frac {n} {k})。我们不妨令 nk=nm2k n k = n m 2 k nk = \frac {n \frac {m} {2}} {k}，解得 k=m2−−√ k = m 2 k = \sqrt \frac {m} {2}，即理论上让 k=120 k = 120 k = 120 左右就好了，实际上由于每只 doge 跳跃能力的不确定（我这里假设两种情况五五开）， k k k 到底等于多少才好需要调参。

参考代码

由于边数很多，所以我们直接判断就好了，无需手动建图。

另外，上面的参数已经能够满足要求了。~~调成 m4" role="presentation" style="position: relative;">m4−−√m4\sqrt \frac {m} {4} 更快。~~

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <cctype>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <list>
#include <functional>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
typedef int INT_PUT;
INT_PUT readIn()
{INT_PUT a = 0; bool positive = true;char ch = getchar();while (!(ch == '-' || std::isdigit(ch))) ch = getchar();if (ch == '-') { positive = false; ch = getchar(); }while (std::isdigit(ch)) { a = a * 10 - (ch - '0'); ch = getchar(); }return positive ? -a : a;
}
void printOut(INT_PUT x)
{char buffer[20]; int length = 0;if (x < 0) putchar('-'); else x = -x;do buffer[length++] = -(x % 10) + '0'; while (x /= 10);do putchar(buffer[--length]); while (length);
}int INF;
const int maxn = 30005;
int n, m;#define RunInstance(x) delete new x
struct work
{static const int maxk = 90;int k;std::vector<std::vector<int> > appear;std::vector<std::vector<int> > fast;std::vector<std::vector<int> > slow;int pos[maxn];int val[maxn];static const int size = maxn * maxk;int dis[size];bool inQ[size];int q[size];int head, tail;void slack(int from, int to, int cost){if (dis[from] + cost < dis[to]){dis[to] = dis[from] + cost;if (!inQ[to]){q[tail] = to;tail = tail + 1 == size ? 0 : tail + 1;inQ[to] = true;}}}void SPFA(){head = tail = 0;memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));memset(inQ, 0, sizeof(inQ));dis[pos[0]] = 0;q[tail++] = pos[0];inQ[pos[0]] = true;while (head != tail){int from = q[head];inQ[from] = false;head = head + 1 == size ? 0 : head + 1;if (from >= n){int way = from / n;int idx = from - way * n;int to;if (idx - way >= 0)slack(from, from - way, 1);if (idx + way < n)slack(from, from + way, 1);slack(from, idx, 0);}else{for (int i = 0; i < fast[from].size(); i++)slack(from, from + n * fast[from][i], 0);for (int i = 0; i < slow[from].size(); i++){register int cnt;register int step = slow[from][i];register int cost;cnt = from - step;cost = 1;while (cnt >= 0){slack(from, cnt, cost);cnt -= step;cost++;}cnt = from + step;cost = 1;while (cnt < n){slack(from, cnt, cost);cnt += step;cost++;}}}}}work() : dis(), inQ(){k = std::sqrt(m / 4);appear.resize(n);fast.resize(n);slow.resize(n);for (int i = 0; i < m; i++){pos[i] = readIn();val[i] = readIn();appear[pos[i]].push_back(i);if (val[i] <= k) fast[pos[i]].push_back(val[i]);else slow[pos[i]].push_back(val[i]);}for (int i = 0; i < n; i++){std::sort(fast[i].begin(), fast[i].end());fast[i].resize(std::unique(fast[i].begin(), fast[i].end()) - fast[i].begin());std::sort(slow[i].begin(), slow[i].end());slow[i].resize(std::unique(slow[i].begin(), slow[i].end()) - slow[i].begin());}SPFA();if (dis[pos[1]] >= INF)printOut(-1);elseprintOut(dis[pos[1]]);}
};void run()
{memset(&INF, 0x3f, sizeof(INF));n = readIn();m = readIn();RunInstance(work);
}int main()
{run();return 0;
}

Update

好像这是个 01 BFS……你懂的……