高中数学基础02：反函数与基本初等函数

内容来自百度百科知识以及东方耀老师笔记内容的整合

1、反函数

1.1 定义

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标”−1”指的并不是幂。

1.2 反函数的性质

（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；

（2）函数存在反函数的[充要条件]是，函数的[定义域]与[值域]是[一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应[区间]上[单调性]一致；

（4）大部分[偶函数]不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。[奇函数]不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个[奇函数]存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

（8）[定义域]、[值域]相反对应法则互逆（三反）；

（9）反函数的[导数]关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f’(y)≠0，那么它的反函数y=f^-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

（10）y=x的反函数是它本身

1.3 画图直观理解

2、基本初等函数

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。

2.1 幂函数

2.1.1 定义

一般地.形如y=x^α(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x⁰、y=x¹、y=x²、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x y=x⁰时x≠0）等都是幂函数。

2.1.2 性质

幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

正值性质

当α>0时，幂函数y=x^α有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

负值性质

当α<0时，幂函数y=x^α有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X^-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

零值性质

当α=0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、y=x⁰的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

2.2 指数函数

2.2.1 定义

一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)。

2.2.2 数学术语

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e^x，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

2.2.3 基本性质

2.2.4 重要的运算法则

①

②

③

④

2.2.5 对指数e的理解参考文章

http://blog.jobbole.com/86604/

2.3 对数函数

2.3.1 定义

一般地，对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：

如果a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

2.3.2 图像理解

2.3.3 公式换算

2.3.4 公式推导

2.4 三角函数

2.4.1 定义

2.4.2 公式换算

2.4.3 函数图象

正弦函数：y=sin x
对称轴：x=kπ+π/2(k∈Z)
对称中心：(kπ,0)(k∈Z)

余弦函数：y=cos x
对称轴：x=kπ(k∈Z)
对称中心：kπ+π/2,0)(k∈Z)

正切函数：y=tan x
对称轴：无
对称中心：(kπ/2+π/2,0)(k∈Z)

余切函数：y=cot x
对称轴：无
对称中心：(kπ/2,0)(k∈Z)

正割函数：y=sec x
对称轴：x=kπ(k∈Z)
对称中心：(kπ+π/2,0)(k∈Z)

余割函数：y=csc x
对称轴：x=kπ+π/2(k∈Z)
对称中心：(kπ,0)(k∈Z)

2.5 反三角函数

2.5.1 定义

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。

它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

2.5.2 分类

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

反正弦函数

正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。^[1]

反余弦函数

绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)

余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] ，值域[0，π]。^[1]

反正切函数

正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。^[1]

反余切函数

余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx

绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)

，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。^[1]

反正割函数

正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。^[1]

反余割函数

余割函数y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。^[1]

2.5.3常用的关系公式

2.6 常数函数

2.6.1 定义

在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。更一般地，对一个函数f: A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数