ICPC 2018 焦作赛区网络预赛G Give Candies 组合数学隔板法+欧拉降幂

G Give Candies

计蒜客 G Give Candies

题意

n n n个糖果， n n n个人从 1 1 1~ n n n编号，每次给一个人发糖可以发任意数量但不能小于 1 1 1，直到发完所有糖果，问分糖果的方案有多少种。

分析

1.首先考虑到会不会有一个人被重复发糖，但最后发现对答案没有影响，因为对同一个人发两次糖每次发一颗和一次发两颗对于最后的糖果分配结果来看没有区别。

2.考虑会不会有编号的影响，只要对于任意两个方案，只要有编号相同的人持有不同数量的糖果就视为不同方案，也就是说 n = 4 n = 4 n=4,给一个人发 4 4 4个糖果的方案有四种即给 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4的某一个发 4 4 4个糖果其他人不发。但样例 n = 4 n = 4 n=4时 a n s = 8 ans = 8 ans=8可以分析出来，编号对方案不造成影响,最后的答案按糖果数量排序后，字典序不同才是不同方案 0 , 0 , 0 , 4 = 0 , 4 , 0 , 0 0,0,0,4 = 0,4,0,0 0,0,0,4=0,4,0,0。

3. 此时可以将问题抽象出来： n n n个糖果将其分成 1 , 2 , … … , n 1,2,……,n 1,2,……,n份的方案数之和，我们采用隔板法。n个糖果共有 n − 1 n - 1 n−1个地方可以插入隔板，插入 0 0 0个隔板是分成 1 1 1组 C n − 1 0 C_{n - 1}^{0} Cn−10，插入 1 1 1个隔板是分成 2 2 2组 C n − 1 1 C_{n - 1}^{1} Cn−11，……
a n s = ∑ i = 0 n − 1 C n − 1 i = 2 n − 1 ans = \sum_{i = 0}^{n - 1} C_{n - 1}^{i} = 2^{n - 1} ans=∑i=0n−1Cn−1i=2n−1

4.但是 n n n的数据较大 n < = 1 0 100000 n <= 10^{100000} n<=10100000 普通的递推和快速幂都无法满足于是我们需要使用欧拉降幂,将指数的幂降下去，再用快速幂求解。
欧拉降幂结论： ( a b ) m o d p = ( a b m o d ( p − 1 ) ) m o d p (a ^ b) \mod p = (a ^ {b \mod (p - 1)}) \mod p (ab)modp=(abmod(p−1))modp 当且仅当 a a a 与 p p p互质。

代码

#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 100010;
const int p = 1000000006;//mod - 1
const int mod = 1000000007;//mod
char num[N];
ll ksm(ll a,ll b)
{ll ans = 1;while(b){if(b & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return ans;
}
void solve()
{scanf("%s",num);int len = strlen(num);ll mi = 0;for(int i = 0; i < len; i ++){mi = mi * 10 % p;mi = (mi + num[i] - '0') % p;//降幂}mi = (mi + p - 1) % p;printf("%lld\n",ksm(2, mi));return ;
}
int main()
{int T;scanf("%d",&T);while(T--)solve();return 0;
}

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