一、二叉查找树

Binary Search Tree（BST）

不知道大家有没有玩过一个游戏，叫“猜数字”。甲先在纸上写一个数字（如11），然后让另外一些人在1-100的范围内猜这个数字（如A猜49），若猜中，则此人输，游戏结束；若没有猜中，则由甲缩小数字范围（甲说，范围变为1-49），由下一人继续猜，直至猜出数字为止。

这也是二叉查找树的精髓，通过不断比较大小，缩小范围，最终得到要找的元素的位置。

二叉树的特性：

某节点的左子树节点值仅包含小于该节点值
某节点的右子树节点值仅包含大于该节点值
每个左右子树也必须是二叉查找树

但是，如果是这样的呢？

也完全符合二叉树的特性，但是这样的树，你想找“3”，就十分费劲。站在程序的角度，就要查询很多次，效率十分低下。这时，红黑树就腾空出世了。

二、红黑树

Red-Black Tree（RBT）红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉查找树。

红黑树的特性：

每个节点要么是黑色，要么是红色
根节点是黑色
每个叶子节点（NIL）是黑色（java中为null）
每个红色结点的两个子结点一定都是黑色（即不能有两个相连的红）
任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点（黑色完美平衡，但不是完美平衡）。推论：如果一个结点存在黑子结点，那么该结点肯定有两个子结点

红黑树中节点的称呼：

三、红黑树实现自平衡的两大操作

变色recolor 和 rotation旋转
具体来说，该如何操作呢？现在假设我们向红黑树中插入一个新节点 X，需要执行以下步骤：

将新插入的节点标记为红色
如果新节点 X 是根结点(root)，则标记为黑色，结束
若 X 的 parent 是黑色，则结束；若 X 的 parent 是红色，且 X 不是 root，则分两种情况（3.1和3.2）

3.1.当 uncle 是红色时

3.1.1 将 parent 和 uncle 标记为黑色
3.1.2 将 grand parent (祖父) 标记为红色
3.1.3 把 X 的祖父设置为当前节点
3.1.4 重复步骤 2、3

3.2.当 uncle 是黑色时

这时分四种情况：左左、左右、右右、右左。

3.2.1 左左 (P 是 G 的左孩子，并且 X 是 P 的左孩子)

则手提P为根节点，P和G(原根节点)分别变色

3.2.2 左右 (P 是 G 的左孩子，并且 X 是 P 的右孩子)
则左旋：使 X 的父节点 P 被 X 取代，同时父节点 P 成为 X 的左孩子（X和P位置互换），然后再应用左左情况

3.2.3 右右

3.2.4 右左
则右旋

四、左旋和右旋的精准表述

左旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。

右旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。

旋转操作是局部的。旋转能保持红黑树平衡：当一边子树的结点少了，那么向另外一边子树“借”一些结点；当一边子树的结点多了，那么向另外一边子树“租”一些结点。

五、红黑树查找

红黑树的查找跟二叉平衡树的查找无异。那么二叉树的查找是怎样的呢？与“猜数字”游戏的从查找无异！

红黑树总保持黑色完美平衡，它的查找最坏时间复杂度为 O(2lgN)

六、红黑树删除

二叉树删除结点找替代结点有3种情景：
情景1：若删除结点无子结点，直接删除
情景2：若删除结点只有一个子结点，用子结点替换删除结点
情景3：若删除结点有两个子结点，用后继结点（大于删除结点的最小结点）替换删除结点

（比如我要删除P，则后继结点便为R，前继节点为M）

删除结点被替代后，在不考虑结点的键值的情况下，对于树来说，可以认为删除的是替代结点！

（删除P相当于删除Q）

现在我们再来回顾一下删除结点时的3种情况：
情景1，删除结点无子结点，直接删除（这时删除的结点在树末）
情景2，删除结点只有一个子结点，用子结点替换删除结点（即其实相当于删除了子结点，而这个子节点在树末）
情景3，删除结点有两个子结点，用后继结点替换删除结点（相当于删除了后继结点，而后继结点在树末）
发现了吗？无论那种情景，最终删除的结点，都在树末。
所以，我们把重点，放在这个树末结点（也即是替代结点）！（因为整棵树都平衡了之后，要做的就只是替换值和删除了）

七、红黑树删除例子

删除情景1：替代结点是红色结点

用替代结点代替删除结点，颜色变为删除结点的颜色。（由于替代结点是红色，删除了并不会影响红黑树的平衡，所以此情况无须做自平衡处理）

删除情景2：替换结点是黑结点

当替换结点为黑色时，我们就需要做自平衡处理了。
记住，对于替换结点，先自平衡，后替换（删除）
还记得红黑树是如何自平衡的吗，对的，根据不同的情况进行左旋和右旋操作；删除结点时的自平衡，与此类似。

删除情景2.1：替换结点是其父结点的左子结点

2.1.1：替换结点的兄弟结点是红结点

（R是替换结点，是父结点的左子结点，其兄弟结点是红结点）

处理：
将S设为黑色
将P设为红色
对P进行左旋，得到删除情景2.1.2.3（再接删除情景2.1.2.3处理）

2.1.2：替换结点的兄弟结点是黑结点

当兄弟结点为黑时，其父结点和子结点的具体颜色无法确定，遂需要考虑多种情况。

2.1.2.1：替换结点的兄弟结点的右子结点是红结点，左子结点任意颜色

即将删除左子树的一个黑色结点 (即R)，显然左子树的黑色结点少了1个，而右子树有红色结点，遂向右子树“借”个红结点来补充黑结点。（这里和红黑树的特性“任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点”有关，此特性的推论为“如果一个结点存在黑子结点，那么该结点肯定有两个子结点”）
处理：
将S的颜色设为P的颜色
将P设为黑色
将SR设为黑色
对P进行左旋

（R是准备删除的）

2.1.2.2：替换结点的兄弟结点的右子结点为黑结点，左子结点为红结点

兄弟结点所在的子树有红结点，可向兄弟子树借红结点
处理：
将S设为红色
将SL设为黑色
对S进行右旋，得到情景2.1.2.1
接情景2.1.2.1的处理

2.1.2.3：替换结点的兄弟结点的子结点都为黑结点

此时兄弟子树都没红结点可“借”，兄弟帮忙不了，找父母呗。这种情景我们把兄弟结点设为红色（因为黑色R即将删除），再把父结点当作替代结点，自底向上处理，去找父结点的兄弟结点“借”。
处理：
将S设为红色
把P作为新的替换结点
重新进行删除结点情景处理

删除情景2.2：替换结点是其父结点的右子结点

（删除情景2.1的镜像情景）

2.2.1：替换结点的兄弟结点是红结点

处理：
将S设为黑色
将P设为红色
对P进行右旋，得到情景2.2.2.3
进行情景2.2.2.3的处理

2.2.2：替换结点的兄弟结点是黑结点

2.2.2.1：替换结点的兄弟结点的左子结点是红结点，右子结点任意颜色

处理：
将S的颜色设为P的颜色
将P设为黑色
将SL设为黑色
对P进行右旋

2.2.2.2：替换结点的兄弟结点的左子结点为黑结点，右子结点为红结点

处理：
将S设为红色
将SR设为黑色
对S进行左旋，得到情景2.2.2.1
进行情景2.2.2.1的处理

2.2.2.3：替换结点的兄弟结点的子结点都为黑结点

处理：
将S设为红色
把P作为新的替换结点
重新进行删除结点情景处理

八、问题

哪些场景可以应用红黑树？
你了解各种树的时间复杂度吗？

来源：https://www.jianshu.com/p/104fa73c81b3

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