组合数学笔记之二——“二项式系数”
二项式系数
8/10/2016 5:55:10 PM by 林维
1. Pascal公式
对于满足1 ≤ k ≤ n - 1的所有整数 k 和 n,都有C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k).
pascal三角形 :
n\k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | |||||||||
1 | 1 | 1 | ||||||||
2 | 1 | 2 | 1 | |||||||
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||||
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||||
5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||||
6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |||
7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | ||
8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | |
… | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
该三角形中的每一项,但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项,通过把上一行的两项加在一起而得到:一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到
对称关系: C(n ,k) = C(n, n - k);
二项式系数恒等式: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2n;
在k = 1一列上C(n, 1) = n 是计数数,k = 2 一列上的数C(n, 2) = n(n - 1) / 2 是所谓的三角形数, 在k = 3一列上的数C(n, 3) = n(n - 1)(n - 2) / 3! 是所谓的四面体数。
可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数,并令k为满足0 ≤ k ≤ n的整数。定义p(n, k)为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数,其中,在每一条路径,从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。
2. 二项式定理
定理一: 令n是一个正整数。于是,对所有的x和y,
(x + y)^n = x^n + C(n, 1)x^{n-1}y + C(n, 2)x^{n -2}y^2 + ... + C(n, n - 1)xy^{n-1} + C(n, n)y^n 。用求和记号写出,即:
(x + y)^n = \sum C(n, k)x^{n - k}y^k
二项式定理还有几种等价形式:
(x + y)^n = \sum C(n, n - k)x^{n-k}y^k
(x+y)^n = \sum C(n, n-k)x^ky^{n-k}
(s + y)^n = \sum C(n, k)x^ky^{n-k}
定理二: 令n是一个正整数。则对所有的x,有
(1 + x)^n = \sum C(n, k)x^k = \sum C(n, n - k)x^k
3. 一些恒等式
kC(n, k) = nC(n-1, k - 1) (n, k均为正整数) ;
C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n - 1) + C(n, n) = 2n (n ≥ 0) ;
C(n, 0) - C(n, 1) + C(n, 2) + … + (-1)nC(n, n) = 0 , 或者可以写成C(n, 0) + C(n, 2) + … + = C(n, 1) + C(n, 3) + … = 2n-1
1C(n, 1) + 2C(n, 2) + 3C(n, 3) + … + nC(n, n) = n2n-1
C2(n, 0) + C2(n, 1) + C2(n, 2) + … + C2(n, n - 1) + C2(n, n) = C(2n, n)
C(r, 0) + C(r+1, 1) + C(r+2, 2) + … + C(r+k, k) = C(r+k+1, k) ;
C(0, k) + C(1, k) + … + C(n-1, k) + C(n, k) = C(n+1, k+1);
4. 二项式系数的单峰性
令n是正整数,二项式序列C(n, 0), C(n, 1), C(n, 2), … , C(n, n)是单峰序列。更精确地说
n为偶数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, n/2), C(n, n/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n);
n为奇数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, (n-1)/2) = C(n, n/2+1), C(n, (n+1)/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n)
组合数学笔记之二——“二项式系数”相关推荐
- Programming C# 学习笔记(二) 出发:“Hello World”
小序: 准备写这章的学习笔记了,啊,Hello World!多么亲切的语句,呵呵,当初学C语言的第一个程序就是输出它, 还记得费了好大劲终于把它输出来时候的那种兴奋感觉,真是让我怀念哦!(然 ...
- SVO学习笔记(二)
SVO学习笔记(二) 这篇文章 稀疏图像对齐 地图点投影(地图与当前帧间的关系) reprojectMap reprojectPoint reprojectCell 特征点对齐中的非线性优化 结尾 这 ...
- Udacity机器人软件工程师课程笔记(二)-样本搜索和找回-基于漫游者号模拟器
Robotics Software engineer编程笔记(二) 5.确定漫游者号的行进方向 (1)漫游者号如何确定自己的行进方向? 我们已经有了一个由前置摄像头得到的图像,然后可以通过对图像进行处 ...
- 响应式编程笔记(二):代码编写
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 响应式编程笔记(二):代码编写 博客分类: 架构 原文:Notes on Reactive Programming Part ...
- Python学习笔记(二):标准流与重定向
Python学习笔记(二):标准流与重定向 - SamWei - 博客园 Python学习笔记(二):标准流与重定向 Posted on 2012-02-19 22:36 SamWei 阅读(176) ...
- pytorch学习笔记(二):gradien
pytorch学习笔记(二):gradient 2017年01月21日 11:15:45 阅读数:17030
- opencv学习笔记(二):基于肤色的人手检测
opencv学习笔记(二):基于肤色的人手检测 原文:http://blog.csdn.net/wzmsltw/article/details/50849810 先写了人手的检测程序,下一步基于检测程 ...
- python做直方图-python OpenCV学习笔记实现二维直方图
本文介绍了python OpenCV学习笔记实现二维直方图,分享给大家,具体如下: 官方文档 – https://docs.opencv.org/3.4.0/dd/d0d/tutorial_py_2d ...
- GEEK学习笔记— —程序猿面试宝典笔记(二)
所谓笔记,就是比較个人的东西,把个人认为有点意思的东西记录下来~~ 程序猿面试宝典笔记(一)基本概念 程序猿面试宝典笔记(二)预处理.const和sizeof 程序猿面试宝典笔记(三)auto_ptr ...
最新文章
- 记录ishield遇到的问题的解决过程
- 处理WinForm多线程程序时的陷阱(摘自网络)
- webpack超详细配置
- 计算机科学与技术专业《计算机网络原理》课程实验指导书,计算机科学导论,课程实验指导书解读.pdf...
- java 单元测试 异步_java - 如何使用CountdownLatch对异步代码进行单元测试同步 - 堆栈内存溢出...
- CentOS7---iptables
- Atheros AR9285 坑爹网卡只有 54M/65M,开启 150M 速率的方法
- python语音识别终极指南_Python语音识别终极指南
- LeetCode 刷题记录模板
- arcgis语言如何中文改英文_ArcGIS的概述及中英文切换——附GIS名词解释大全(一)...
- 2009 SD 2.0大会北京温都水城盛大召开(10月22日)
- 影片推荐:《机械姬》
- 智慧树源码_公众号题库源码
- TensorFlow入门教程:8:训练数据之Iris数据集
- ubuntu12.04编译安装crtmpserver
- uni-app中兴趣标签选择
- 【莫问前路】数据结构篇 绪论
- 小程序源码:云开发表情包制作神器微信小程序
- 参数反演 计算机,基于Radon变换的波场参数反演算法及图像重构
- 推荐几款免费web应用防火墙(云waf)