多层地层中的井筒及地层温度解析

摘要

本文采用分层地层的假设来近似实际情况下的地层垂向的非均质性,并在此基础上建立了多孔介质中的热传导问题的数学模型,通过对方程的无量纲化及Laplace 变换,给出了Laplace 空间上的油气井在注入及生产情况下方程的解。最后将Laplace 空间的解解析反演到实空间上。

1 前言

当井筒中有流体注入或有流体采出时,周围地层与流体之间就存在温度差,使得流体与地层的温度重新分布。在石油的勘探与开发中,了解井筒中流体温度随井深、时间、产量的变化关系是很重要的（详见http://www.successly.com）。例如如果给出井筒温度与流量的关系,那么,就可以利用井筒温度来反求流体产量;给出井筒温度与时间的关系,就可以利用井筒温度反求地层的热力学参数等。
50 年代以来, ,就有一些学者研究多孔介质热传导问题[1 ,2 ] ,其中Ramey[3]在井筒传热方面的研究最为经典,他引起了综合传热系数,并给出了综合传热系数的表达式,但Ramey 的研究采用了过多的假设,这使得Ramey 的井筒瞬时传热导问题的解仅适合时间较大时的情况。
由于多孔介质中的热传导问题非常复杂,对井筒或地层传热问题研究最多的是数值解[4 ,5] ,因为数值解可考虑许多复杂的问题(如地层的热力学参数的非均质性等) ,但数值模拟往往过于复杂,也需要高性能的计算机,一般人也很难掌握。在实际的应用中,解析解更利于人们对问题本质的了解。本文正是从这一目的出发,根据热传导问题的性质,采用较符合实际的假设(将地层分成多层,且地层热力学参数在每个小层中为常数) ,给出地层热传导方程及井筒中的流体流动方程。对方程无量纲化后,给出无量纲方程的解。

2 数学模型及其解

考虑多层的井筒瞬时热传导问题的温度分布如图1、图2 所示,井筒中的流体通过对流传递热量,然后通过热传导进入地层,地层是由n 个不同的热力学及物理性质的多孔介质层组成。整个系数由井筒区、热表皮区(包括套管、环空、水泥环等) 及地层三部分组成。根据对问题的研究,本文采用如下的近似及假设:

图1 　井筒和地层温度分布曲线　　　　　　　图2 　给定时间下生产井温度剖面图(实例)

(1) 井筒中的流体为一维、垂向流动,且流量为常数;
(2) 同流动中的流体热对流相比,井筒中的流体垂直方向的热传导可忽略不计;
(3) 每个小层中的热力学参数、物理性质参数及初始温度梯度为常数;
(4) 与水平方向的热流量相比,地层中垂直方向的热传导可忽略不计;
(5) 用热表皮处理地层与井筒之间的热流量,同时引进热量储存常数;
根据以上假设,地层第j 层的热传导方程为:
（1）
在井筒中,流体的控制方程
对液体有
（2a）
对气体有
(2b)
由Ramey 定义的综合热传导系数Uj ,可表示成:
（3）
　初始及边界条件可写成:

式中
T ——地层温度, (°C) ;
Tw —井筒温度, (°C) ;
ρ ——地层中岩石及流体的综合密度, (kg/ m3) ;
C ——地层中岩石及流体的综合定压比热容, (J / kg.°C) ) ;
λ ——地层中岩石及流体的综合热传导系数, (W/ (m.°C) ) ;
u ——井筒单位长度的热通量, (W/ m) ;
U ——地层与井筒之间的综合热传导系数, (W/ (m2 .°C) ) ;
TC ——流体注入时的注入温度, (°C) ;
T0 ——对于注入井表示地面温度,对生产井为井底温度, (°C) ;
Q ——流体的体积流量, (m3/ s) ;
g ——重力加速度, (m/ s2) ;
rw ——井筒半径, (m) 。
下标
j = 1 ,2 ,3 ⋯n ( zj - 1 < z < zj ———第j 层的物理量及参数;
w ——井筒中的物理量及参数;
f ——与流体有关的物理量及参数;
i ——初始状态的物理量及参数。
定义如下的无量纲量:
无量纲地层及井筒温度TDj , TWDj 定义为

无量纲时间及无量纲距离tD , rD , zD 定义为

热表皮、无量纲热储存常数及热力学参数比Sj ,βj , mj 定义为

(4) Laplace 空间上的无量纲地层及井筒温度. , 定义为
.
根据上述定义的无量纲量,可以给出Laplace 空间上温度所满足的方程及定解条件

TGj ——第j 层的地层静温梯度, (°C/ m) ;
求解上述方程,可以得到Laplace 空间上的无量纲地层及井筒温度. , 分别为
式中

K0 ( x) ———零阶虚宗量Bessel 函数;
K1 ( x) ———一阶虚宗量Bessel 函数。
使用围道积分可以得到方程(15) 、(16) 的Laplace 解析反演解,即无量纲井筒温度、地层温度分布实空间的解TWDj ( zD , tD) 及TDj ( rD , zD , tD ) (Laplace 解析反演过程非常复杂,本文仅给出反演后的结果) 。
对第一层,无量纲井筒温度TWDj ( zD , tD) 可表示成
式中

对于j = 2 ,3 ,4 ⋯n 层,无量纲井筒温度可表示成

式中

J0 ( x) , Y0 ( x) ———第一类及第二类零阶Bessel 函数;
J1 ( x) , Y1 ( x) ———第一类及第二类一阶Bessel 函数。
地层无量纲温度分布可表示成

3 计算结果

方程(15) 、(16) 给出了无量纲井筒温度及地层温度分布的Laplace 空间的解,可以使用Laplace 数值反演给出它们的解;方程(17) 、(18) 、(19) 给出了无量纲井筒温度及地层温度分布实空间的解,但表达式非常复杂;为了进行比较,本文也给出该问题的差分结果(计算结果由WTS 井筒热模拟软件给出) 。本文实例是注入情况的井筒及地层温度分布,并且,假定地层分为两层,第一层为砂岩,第二层为粘土,计算所使用的参数如表1 所示。图3 是采用三种解得到的不同时间下,井筒温度随井深的关系曲线,从比较结果来看三种计算结果在时间较大时趋于一致。但当tD ≤zD 时,Laplace 数值反演结果不准确。所以,时间较小时的井筒温度解析解是非常重要的。
表1 　计算所需的参数列表

为了研究垂直方向的热传导对地层温度分布的贡献,本文给出了不同时间下400m 处,垂直方向的温度梯度与水平方向温度梯度之比对径向距离图(如图4 所示) ,从图中可以看出:时间在很大的范围内,垂直方向的温度梯度与水平方向温度梯度比值总是小于1 %。这证明
了许多作者在研究多孔介质热传导时忽略垂直方向的热传导是正确的,但对于多层,如果相邻两层的地层热力学参数差别较大,在两层交界处附近,垂直方向的温度梯度可能较大,垂直方向的热传导是否可以忽略要视具体情况而定。对于一般工程问题,忽略垂直方向的热传导是非常合理的。

图3 井筒温度随井深的关系曲线比较　　　　图4 垂向与径向温度梯度之比

图5 是注入5d 时地层三维温度分布图,其中径向最大的计算距离为R = 15m ,从图中可以看出:用20°C 的水,以流量为m3/ d 的注入量注入5d ,温度影响半径较小,即在离井筒几米以外,地层温度几乎没有受到扰动,地层温度分布仍然可以近似为地热静温曲线。但在井筒附
近温度变化较大,尤其在井筒中,温度随深度的变化曲线远偏离地热静温曲线,研究表明:注入(或产出) 流量是影响井筒中温度随深度的变化曲线偏离地热静温曲线最主要的参量。所以,我们可以通过分析井筒中温度随深度的变化曲线或产层处的温度随时间变化的曲线来反求注入(可产出) 流量以及地层热力学参数。

图5 注入5d 时地层三维温度分布图

4 结论

通过本文的研究我们可以得到以下的结论
(1) 可以用解析或半解析(Laplace 变换及Laplace 数值反变换) 方法给出多孔介质中的热传导问题的解,但时间较小( tD ≤zD ) 时Laplace 数值反变换得到的结果不准确;
(2) 研究多孔介质地层温度分布可以忽略垂直方向的热传导;
(3) 流量是影响多孔介质地层温度分布及井筒温度最主要的参数,因此,可以通过分析
井筒中温度随深度的变化曲线或产层处的温度随时间变化的曲线来反求注入(或产出) 流量以及地层热力学参数。

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