n对括号的所有的合法组合排序解法

题目很简单，给定数字n，写出所有n组括号的分布情况

例如n=2，则有(()),()()，这两种

n=3，则有

((())),(()()),(())(),()(()),()()() 五种。

看到这个问题，第一反应可能是用递归，要得到 f(n), 等价于再f(n-1)的基础上加一对括号，

只要保证左右括号的相对位置即可！

例如：F(2), 等于再"()"上加一对括号；可能有以下几种情况：

（（）），（（）），（）（），（）（），（（）），

其中红色是原来的位置，黑色是插入的位置。

显然会出现大量重复组合，所以用这种办法，可能需要借助HashSet来去重。

那有没有更简单的办法呢？

我们将左括号记为 1，右括号记为0，那么n对括号就等价于 n个“1”和n个“0”的组合，构成一个二进制数，且第一位一定是1（左括号），最后一位一定是0（右括号）

所以表现形式位 1xxxxxxxxx0，且每一位的左边1的个数不小于0的个数，每一位的右边，0的个数不小于1的个数。

所以我们有如下算法：

 public static void p8_9(List<int> nums,int left,int right,int remain,int index,int pre){if (remain == 0){nums.Add(pre);return;}if(left>right){//补零不变p8_9(nums, left, right + 1, remain, index - 1, pre);}//补1总是没问题，补1则remain减少pre = pre | (1 << index);index--;left++;remain--;p8_9(nums, left, right, remain, index, pre);}public static void TestP8_9(int n){int num = 1 << (n * 2-1);List<int> nums = new List<int>();p8_9(nums, 1, 0, n - 1, 2 * n - 2, num);nums.ForEach(x => Console.WriteLine(Convert.ToString(x, 2)));}

思路如下：

首先参数：

1 nums：存放最终的排列结果

2.left：统计当前index左边1的个数

3.right：统计当前index左边0的个数

4.index：游标，从左边第二位开始

5.pre：临时存放的数字，初始为 1<<(2n-1);

6.remain: 剩余需要将0变为1的次数

假设n=3; 构建一个1<<(2*3-1) =100000;

此时参数为 left=1,right=0,remian=2,index=5,pre=100000

a.如果 ramain==0；即已经有三个1了，那么构造结束,将结果加入nums

b.如果左边1的个数大于0的个数比如 110000，那么index=3时，可以设为0，不出出现right>left的情况；如果时100000，那么就不能出现100xxx这种结构了，因为后面无论怎么排列都无法使之合法。所以设为0后，right的数目加1，remain保持不变，index往后移(index--).然后继续迭代

c.无论什么情况，只要剩余变1的次数不为0，就可以一直将该位设为1，极端情况就是111000，

这种情况要记得更新remain，他是终止运行的条件。

下面时n=4的运行结果：

将1->( ,0->),即可得到最终结果。

当然有个问题是，如果n太大超过16怎么办（即超过int32位数），这里可以用字符串实现，完全没问题。其次参数时可以简化的，知道index和left，right可以计算出来，remain也可以计算出来，这里为了直观，就没有简化。

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