劳斯-霍尔维茨系统稳定性判据

2024-06-12 23:42:20

劳斯-霍尔维茨系统稳定性判据

一般用于判断极点是否全部在 s 的左半平面上，即系统是否稳定

一、定义

实系数 n 阶方程（ H(s)H(s)H(s) 的分母），其特征方程为
D(s)=a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an=0D(s)=a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n=0 D(s)=a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an=0
让 D(s)=0D(s)=0D(s)=0 的跟全部在 s 平面的左半开平面的 充要条件 是：

多项式系数符号相同且无缺项

劳斯-霍尔维茨阵列中第一列符号相同；若不相同，则符号改变的次数就是 D(s)=0D(s)=0D(s)=0 在右半平面上所具有的根的个数

劳斯-霍尔维茨阵列构造规则：

前两行：
anan−2an−4an−6⋯an−1an−3an−5an−7⋯\begin{matrix} a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & a_{n-6} & \cdots \\ a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & a_{n-7} & \cdots \\ \end{matrix} anan−1an−2an−3an−4an−5an−6an−7⋯⋯
从第三行开始，每一项根据上两行得到：
⋯an−2,nan−2,n+1⋯⋯an−1,nan−1,n+1⋯⋯an,n⋯\begin{matrix} \cdots & a_{n-2,n} & a_{n-2,n+1} & \cdots \\ \cdots & a_{n-1,n} & a_{n-1,n+1} & \cdots \\ \cdots & a_{n,n} & \cdots \\ \end{matrix} ⋯⋯⋯an−2,nan−1,nan,nan−2,n+1an−1,n+1⋯⋯⋯

an,n=−∣an−2,nan−2,n+1an−1,nan−1,n+1∣an−1,na_{n,n}=-\frac{ \begin{vmatrix} a_{n-2,n} & a_{n-2,n+1} \\ a_{n-1,n} & a_{n-1,n+1} \\ \end{vmatrix} }{a_{n-1,n}} an,n=−an−1,n∣∣∣∣an−2,nan−1,nan−2,n+1an−1,n+1∣∣∣∣

二、使用劳斯-霍尔维茨判据的场景

对于判断系统 H(s)H(s)H(s) 是否稳定，如果 H(s)H(s)H(s) 为下面这种形式，可以直接找到极点的位置并判断是否全部在 s 的左半平面
H(s)=K⋅∏i=1m(s−ai)∏j=1n(s−bj)H(s) = K\cdot\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-a_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-b_j)} H(s)=K⋅∏j=1n(s−bj)∏i=1m(s−ai)
但是如果 H(s)H(s)H(s) 为形式
H(s)=K⋅∏i=1m(s−ai)a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+anH(s) = K\cdot\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-a_i)}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n} H(s)=K⋅a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an∏i=1m(s−ai)
对于 n 阶方程，考虑 虚数解 的情况下，一定有 n 个解。通过一般的求导分析函数的方法不好分析虚数解的位置，所以需要使用 劳斯霍尔维茨判据 来判断极点是否在 s 的左半平面

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