1. 简化与假设

忽略转向系统的影响，以前轮转角为输入。
忽略悬架作用，认为汽车车厢只做平行于地面的平面运动，即汽车沿z轴的位移，绕y轴的俯仰角与饶x轴的侧倾角均为零。
汽车前进的速度u视为恒值。
侧向加速度限定在0.4g以下，确保轮胎侧偏特性处于线性范围内。
驱动力不大，不考虑地面切向力对轮胎侧偏特性的影响。
忽略空气阻力的影响。

So，汽车被简化为只有侧向和横摆两个自由度的摩托车模型。

分析时，令车辆坐标系原点与汽车质心重合。

2. 线性二自由度模型

2.1 两轮摩托车模型

Figure1.简化后两轮汽车模型及车辆坐标系

Figure2.简化后的两轮汽车模型及车辆坐标系

$\Delta \Theta$ 很小，且忽略二阶微量

车辆沿ox轴和oy轴的速度分量

$ox:(u+\Delta u)cos\Delta \Theta - u - (v + \Delta v)sin\Delta \Theta =\Delta u-v\Delta \Theta$

$oy:(v+\Delta v)cos\Delta \Theta -v+(u+\Delta u)sin\Delta \Theta =\Delta v+u\Delta \Theta$

求取汽车质心得绝对加速度在车辆坐标系ox轴和oy轴的速度分量

$a_{x}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}-v\frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d} t}=\dot{u}-vw_{r}$

$a_{y}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}+u\frac{\mathrm{d}\Theta }{\mathrm{d} t}=\dot{v}+uw_{r}$

2.2 二自由度汽车模型

Figure3.二自由度汽车模型

二自由度汽车受到的外力沿y轴方向的合力与绕质心的力矩和力：

$\sum F_{y}=F_{Y1}cos\delta +F_{Y2}$

$\sum M_{z}=aF_{Y1}cos\delta -bF_{Y2}$

考虑前轮转角 $\delta$ 很小，上式可以写成：

$\sum F_{Y}=k1\alpha1 +k2\alpha 2$

$\sum M_{z}=ak1\alpha 1-bk2\alpha 2$

引入质心侧偏角：

$\beta \approx tan\beta =\frac{v}{u}$

$\xi$ 是u1和x轴的夹角：

$\xi\approx tan\xi =\frac{v+aw_{r}}{u}=\beta +\frac{aw_{r}}{u}$

前后轮转角偏差：

$\alpha 1=-\left ( \delta -\xi \right )=\beta +\frac{aw_{r}}{u}-\delta$

$\alpha 2=\frac{v-bw_{r}}{u}=\beta -\frac{bw_{r}}{u}$

综上所述，可以列出外力、外力矩与汽车运动参数的关系式：

$\sum F_{Y}=k1(\beta +\frac{aw_{r}}{u}-\delta ) +k2(\beta -\frac{bw_{r}}{u})$

$\sum M_{z}=ak1(\beta +\frac{aw_{r}}{u}-\delta ) -bk2(\beta -\frac{bw_{r}}{u})$

整理后得到二自由度运动微分方程：

$(k1+k2)\beta +\frac{1}{u}(ak1-bk2)w_{r}-k1\delta =m(\dot{v}+uw_{r})$

$(ak1-bk2)\beta +\frac{1}{u}(a^{2}k1-b^{2}k2)w_{r}-ak1\delta =I_{Z}\dot{w_{r}}$

3. 小结

线性二自由度汽车模型的运动微分方程包含了最重要的汽车质量和轮胎侧偏刚度两方面的参数，所以能够反映汽车曲线运动最基本的特征。

$%uFF08v+\Delta v%uFF09cos\Delta \Theta -v+(u+\Delta u)sin\Delta \Theta =\Delta v+u\Delta \Theta$

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