问题 A: 二叉树的性质

问题 B: 二叉树的节点

问题 C: 满二叉树

问题 D: 完全二叉树的节点序号

-----------------------------------分割线------------------------------------------

问题 E: 二叉树的深度

问题 F: 数据结构作业04 -- 二叉树的输入

递归版

迭代版

问题 G: 给定前序遍历序手动构造二叉树-附加代码模式

问题 A: 二叉树的性质

答案非常简单就是输出n-1

但怎么证的呢？

我们不妨先论证一下总的度数和节点数的关系（这里的度指的是子节点数）

最开始我们的树只有一个根节点，而每派生出一个“度”，也就派生出了一个子节点

所以在这之后派生出的总度数量是等于所以子节点数量的

在加上根节点，也就得到了下面式子

节点总数=总度数+1

而左边节点度数可以写成度为0的节点+度为1的节点+度为2的节点

右边可以写成 2*度为2的节点+1*度为1的节点+1

上式即为 度为0的节点+度为1的节点+度为2的节点= 2*度为2的节点+1*度为1的节点+1

两边一合并

度为2的节点+1=度为0的节点

也就证出来了

代码如下

cpp

int n;cin>>n;cout<<n-1<<endl;

python

n = int(input())
print(n-1)

问题 B: 二叉树的节点

这个应该不难想

二叉树的深度取决于最深的节点

最少节点我们只要一条路走到黑或者之字形走，如下图

这样最少节点数就等于深度

（题外话）

也就是说基于二叉树实现的搜索树最坏情况会退化为链表，而在单链表中查找和指定删除都为 $n^{2}$

边缘性能很差，这也就有了之后AVL，红黑树的故事

最多也很简单

只需要每层都满节点就好了

也就是 $1+2+4....2^{n-1}$

也就等于 $2^{n}-1$

cpp代码

    int n;cin>>n;cout<<n<<' '<<pow(2,n)-1;

python代码

h=int(input())
ma = pow(2,h)-1
print(h,ma)

问题 C: 满二叉树

这道题同上了

满二叉树就是节点最多的时候

判断即可

cpp代码

    int h,n;while(cin>>h>>n){if (n==pow(2,h)-1) cout<<"YES"<<endl;else cout<<"NO"<<endl;}

python代码

while 1:h,n=map(int,input().split())if pow(2,h)-1 == n:print('YES')else:print('NO')

问题 D: 完全二叉树的节点序号

我们用数组在存这种二叉堆结构有一个默认的方式，例如存线段树

左儿子等于父亲*2，右儿子等于父亲*2+1

例如存一棵value值如下图的7个节点的满二叉树

在数组中为

这样a[2]的儿子就是left：a[2*2]，right：a[2*2+1]

也就是a[4]和a[5]

这题下标是从0开始，加个偏移量即可

代码如下

    int n;while(cin>>n){if(n==0) cout<<"-1 1 2\n";else cout<<(n-1)/2<<" "<<2*n+1<<" "<<2*n+2<<'\n';}

-----------------------------------分割线------------------------------------------

以下二叉树的前中后序遍历

思路详解见(2条消息) （数据结构）如何手搓一棵二叉树？_lxrrrrrrrr的博客-CSDN博客

我们只要实现一个简单的就好

问题 E: 二叉树的深度

先建树，在找深度

建树：他提供带虚节点前序遍历，前序遍历是根左右

所以我们按照根左右的方式重构树即可，遇到虚节点时结束，代表当前点无节点

找深度时每个节点的dep=max(dep[left],dep[right])+1

从底层节点递归上来即可

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ind;
class node{
public:char data;int dep;node* left;node* right;
};
class bintree{
public:node* __root;void createtree(node* &T,string s);int updatadep(node *T);
};
void bintree::createtree(node* &T,string s){char data=s[ind];ind++;if(data=='#'){T=nullptr;}else{T=new node;T->data=data;createtree(T->left,s);createtree(T->right,s);}
}
int bintree::updatadep(node *T){int L,R;if(T!=NULL){L=updatadep(T->left);R=updatadep(T->right);     T->dep=L>R?L+1:R+1;return T->dep;}return 0;
}
signed main(){bintree tree;string str;int T;cin>>T;while(T--){cin>>str;bool fl=false;for(auto t:str){if(t!='#'){fl=true;break;}}if(!fl){cout<<"0\n";continue;}ind=0;tree.createtree(tree.__root,str);cout<<tree.updatadep(tree.__root)<<'\n';}
}

问题 F: 数据结构作业04 -- 二叉树的输入

建树前一道题已经建过了

这里主要说下中后序遍历

中序遍历我给出了两种方式

递归版和迭代版

递归版

中序遍历是按照左--根--右的方式遍历

递归版写起来特别简单

这样在回溯的时候就会按照中序遍历遍历这棵树

前后序遍历的递归版也就是调换一下顺序

迭代版

同样是从根节点开始，不断地沿着左子树向下走。不同的是，这里向下行进的过程中不能访问当前结点，只有等到当前结点的左子树完成访问时，才能轮到当前结点，因此想到引入一个栈来实现延迟缓冲的功能。走到最左侧的第一个没有左子树的叶子结点时，没有左子树也相当于已经完成了左子树的访问，于是随后便访问当前结点x，然后转入到x的右子树。

当x的右子树完成访问时，即标志着以x为根的子树访问完毕，随机访问x的父亲结点，然后访问x的父亲的右子结点。x的右兄弟结点访问完毕时，即标志着以x的父亲的根的子树访问完毕，随即访问x父亲的父亲，然后是x父亲的父亲的父亲...

后序遍历的详解去看(2条消息) （数据结构）如何手搓一棵二叉树？_lxrrrrrrrr的博客-CSDN博客

goAlongLeft函数的作用是对于每一个节点，一直向左走，这一条左链都压入栈

具体实现：对于每一个节点，先一直向左走，将他的所有左儿子都压入栈，之后每一个左儿子

按顺序出栈，遍历此节点，再遍历此节点的右节点，之后下一个左儿子出栈.....

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ind;
class node{
public:char data;node* left;node* right;
};class bintree{
public:node* __root;void createtree(node* &T,string s);void visit(node* T){if(T->data!='#') cout<<T->data;}void inorder(node* T);void postorder(node* T);void levelorder(node* T);void goalongleft(stack<node*> &S,node* now);void inorder_it(node* T);
};void bintree::createtree(node* &T,string s){char data=s[ind];ind++;if(data=='#'){T=nullptr;}else{T=new node;T->data=data;createtree(T->left,s);createtree(T->right,s);}
}void bintree::inorder(node* T){if(T!=nullptr){inorder(T->left);visit(T);inorder(T->right);}
}void bintree::goalongleft(stack<node*> &S,node* now){node* curr=now;while(curr!=nullptr){S.push(curr);curr=curr->left;}
}void bintree::inorder_it(node* T){stack<node*> S;node* curr=T;while(1){goalongleft(S,curr);if(S.empty()) break;curr=S.top();S.pop();visit(curr);curr=curr->right;}
}void bintree::postorder(node* T){if(T!=nullptr){postorder(T->left);postorder(T->right);visit(T);}
}void bintree::levelorder(node* T){queue<node*> q;q.push(this->__root);while(!q.empty()){node* top=q.front();q.pop();visit(top);if(top->left) q.push(top->left);if(top->right) q.push(top->right);}
}signed main(){bintree tree;string str;while(cin>>str){bool fl=false;for(auto t:str){if(t!='#'){fl=true;break;}}if(!fl){cout<<"\n";continue;}ind=0;tree.createtree(tree.__root,str);tree.inorder(tree.__root);cout<<" ";// tree.inorder_it(tree.__root);// cout<<endl;tree.postorder(tree.__root);cout<<" ";tree.levelorder(tree.__root);cout<<'\n';}
}

问题 G: 给定前序遍历序手动构造二叉树-附加代码模式

随便编一个就行

using namespace std;struct BiNode
{string data;BiNode *lchild, *rchild;
};
typedef BiNode *BiTree;int InitBiTree(BiTree &T)
{T = NULL;return 0;
}
void ManuallyCreateTree(BiTree & T){T = new BiNode();T->data = "a";BiNode* n1 = new BiNode();n1->data = "b";BiNode* n2 = new BiNode();n2->data = "c";T->lchild = n1;T->rchild = n2;BiNode* p = new BiNode();p->data = "d";n1->lchild = p;BiNode* p1 = new BiNode();p1->data = "e";n1->rchild = NULL;n2->lchild = p1;BiNode* p2 = new BiNode();p2->data = "f";n2->rchild = p2;
}

C语言毕竟不是面向过程的语言，用C写这种数据结构简直坐牢

毕竟高内聚低耦合的cpp写出来很养眼

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