[NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数题解

这是在洛谷刷到的一个题，我觉得初学者可以试试这个题，现在我想说一下我的思路。这个我们要对于最大公约数与最小公倍数有一定的了解。之前了解一下最大公约数的求法，就是我们所说的辗转相除法。先介绍一下辗转相除法吧：就以其中一个测试用例为例，求15，12的最大公约数。

这就是辗转相除法的大概。再来看一个例子：

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用辗转相除法，是这样进行的：

1997 / 615 = 3 (余 152)

615 / 152 = 4(余7)

152 / 7 = 21(余5)

7 / 5 = 1 (余2)

5 / 2 = 2 (余1)

2 / 1 = 2 (余0)

至此，最大公约数为1

看完这两个例子，我们来仔细了解一下这个算法。

辗转相除法求最大公约数，我们就先让两个数相除然后进行取余。由图得z=x%y。然后我们让x=y;y=z;z=x%y。当z=0是就是我们辗转相除的结束，此时最大公约数就是此时的y。

while(a%b!=0){z=x%y;x=y;y=z;}

这就是辗转相除法的循环实现。

再来看一看辗转相除法的递归实现。首先递归出口我们设为x%y==0时，这样直接返回y即可。否则的话，我们把y交给x，把x%y交给y，进行递归。看上面的图解应该可以写出这个递归推导式。

int zhanzhuan(int x,int y){if(x%y==0){return y;}else{return zhanzhuan(y,x%y);}
}

这就是递归的实现。

解决了最小公约数的问题，我们回到这个题。我们把这个问题分为两半处理，这样可以提高我们代码执行效率。因为四个答案是两个乘数的换位，所以，我们只需要寻找一半即可，在

x->sqrt（x*y）这个范围内，寻找即可。每次让x++，y就是输入两个数的积除以x（y需要是整数，否则此循环直接跳过即可，可以用逻辑运算实现这一步），然后我们只需要判断此时的xy是不是以最初的x为最小公约数即可，我们用函数递归处理得到最小公约数，与最初的x进行比较，只要相等我们让计数器++即可。

最后还需注意x，y如果相等也就是x=y=sqrt（最初的x*y）。这个时候两个乘数反转时答案是一样的，我们需要在答案中剔除这个相同的值。

最后上一下ac代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>using namespace std;long long int yueshu(int x,int y){if(x%y==0){return y;}else{return yueshu(y,x%y);}
}int main(){int x,y;cin>>x>>y;int t=x;int flag=0;long long int ret=x*y;int count=0;while(x<=(long long int)(sqrt(ret))){if(yueshu(x,ret/x)==t&&(ret)%x==0){count++;long long int m=x*x;if(m==ret){flag=1;}}x++;}cout<<count*2-flag;return 0;
}

如果还有问题欢迎留言询问。

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