斐波那契数列 python 高阶解法

2022.09.27

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

1.矩阵快速幂

n = int(input())
def mul(a, b):  # 首先定义二阶矩阵乘法运算c = [[0, 0], [0, 0]]  # 定义一个空的二阶矩阵，存储结果for i in range(2):  # rowfor j in range(2):  # colfor k in range(2):  # 新二阶矩阵的值计算c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]return c
def fib(n):if n <= 1: return max(n, 0)res = [[1, 0], [0, 1]]  # 单位矩阵，等价于1A = [[1, 1], [1, 0]]  # A矩阵while n:if n & 1: res = mul(res, A)  # 如果n是奇数，或者直到n=1停止条件A = mul(A, A)  # 快速幂n >>= 1  # 整除2，向下取整return res[0][1]
print(fib(n))

2.使用numpy进行求解

代码更简洁，但是打比赛的时候由于numpy不能使用。

# 使用numpy进行求解
n = int(input())
import numpy as np
def fib_matrix(n):Matrix = np.matrix([[0,1],[1,1]])vec = np.array([[0],[1]])return np.matmul(Matrix**n,vec)
print(int(fib_matrix(n)[0]))

3.通项公式求解

具体证明请见：斐波那契数列通项公式是怎样推导出来的？
f ( n ) = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right )^{n} - \left ( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right )^{n} \right ] f(n)=5 1[(21+5 )n−(21−5 )n]

# 通项公式求解
n = int(input())
import numpy
import math
def Fib_general_formula(n):denominator = math.sqrt(5)return int((numpy.power((1+denominator)/2, n) - numpy.power((1-denominator)/2, n)) / denominator)
print(Fib_general_formula(n))

参考链接

1.斐波那契数列求解总结（Python版）

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2.使用numpy进行求解

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