对卷积的定义和意义的通俗解释

对卷积的困惑

卷积这个概念，很早以前就学过，但是一直没有搞懂。教科书上通常会给出定义，给出很多性质，也会用实例和图形进行解释，但究竟为什么要这么设计，这么计算，背后的意义是什么，往往语焉不详。作为一个学物理出身的人，一个公式倘若倘若给不出结合实际的直观的通俗的解释（也就是背后的“物理”意义），就觉得少了点什么，觉得不是真的懂了。

教科书上一般定义函数 $f,g$ 的卷积 $f*g(n)$ 如下：

连续形式：

$(f*g)(n)=\int_{-\infty }^{\infty}f(\tau )g(n-\tau)d\tau$

离散形式：

$(f*g)(n)=\sum_{\tau=-\infty }^{\infty}f(\tau)g(n-\tau)$

并且也解释了，先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。

然后再把g函数平移到n，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。

这个只是从计算的方式上对公式进行了解释，从数学上讲无可挑剔，但进一步追问，为什么要先翻转再平移，这么设计有何用意？还是有点费解。

好在有万能的互联网，尤其是知乎，CSDN这样的网站，很多的热心网友对卷积举了很多形象的例子进行了解释，如卷地毯、丢骰子、打耳光、存钱等等，参见知乎上这两个两个经典的问题，回答的人很多：

如何通俗易懂地解释卷积？https://www.zhihu.com/question/22298352

卷积为什么叫「卷」积？ https://www.zhihu.com/question/54677157

读完觉得非常生动有趣，但过细想想，还是感觉有些地方还是没解释清楚，甚至可能还有瑕疵，或者还可以改进（这些后面我会做一些分析）。

带着问题想了两个晚上，终于觉得有些问题想通了，所以就写出来跟网友分享，共同学习提高。不对的地方欢迎评论拍砖。。。

明确一下，这篇文章主要想解释两个问题：

1. 卷积这个名词是怎么解释？“卷”是什么意思？“积”又是什么意思？

2. 卷积背后的意义是什么，该如何解释？

考虑的应用场景

为了更好地理解这些问题，我们先给出两个典型的应用场景：

1. 信号分析

一个输入信号f(t)，经过一个线性系统（其特征可以用单位冲击响应函数g(t)描述）以后，输出信号应该是什么？实际上通过卷积运算就可以得到输出信号。

2. 图像处理

输入一幅图像f(x,y)，经过特定设计的卷积核g(x,y)进行卷积处理以后，输出图像将会得到模糊，边缘强化等各种效果。

对卷积的理解

对卷积这个名词的理解：所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。

在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。

整体看来是这么个过程：

翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加.....

多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。

卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；

卷积的“积”，指的是滑动积分/加权求和。

有些文章只强调滑动叠加求和，而没有说函数的翻转，我觉得是不全面的；有的文章对“卷”的理解其实是“积”，我觉得是张冠李戴。

对卷积的意义的理解：

1. 从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。以信号分析为例，卷积的结果是不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。所以说，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。

2. 那为什么要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。在信号分析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。

举例说明

下面举几个例子说明为什么要翻转，以及叠加求和的意义。

例1：信号分析

如下图所示，输入信号是 f(t) ，是随时间变化的。系统响应函数是 g(t) ，图中的响应函数是随时间指数下降的，它的物理意义是说：如果在 t=0 的时刻有一个输入，那么随着时间的流逝，这个输入将不断衰减。换言之，到了 t=T时刻，原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。

考虑到信号是连续输入的，也就是说，每个时刻都有新的信号进来，所以，最终输出的是所有之前输入信号的累积效果。如下图所示，在T=10时刻，输出结果跟图中带标记的区域整体有关。其中，f(10)因为是刚输入的，所以其输出结果应该是f(10)g(0)，而时刻t=9的输入f(9)，只经过了1个时间单位的衰减，所以产生的输出应该是 f(9)g(1)，如此类推，即图中虚线所描述的关系。这些对应点相乘然后累加，就是T=10时刻的输出信号值，这个结果也是f和g两个函数在T=10时刻的卷积值。

显然，上面的对应关系看上去比较难看，是拧着的，所以，我们把g函数对折一下，变成了g(-t)，这样就好看一些了。看到了吗？这就是为什么卷积要“卷”，要翻转的原因，这是从它的物理意义中给出的。

上图虽然没有拧着，已经顺过来了，但看上去还有点错位，所以再进一步平移T个单位，就是下图。它就是本文开始给出的卷积定义的一种图形的表述：

所以，在以上计算T时刻的卷积时，要维持的约束就是： t+ (T-t) = T 。这种约束的意义，大家可以自己体会。

例2：丢骰子

在知乎问题如何通俗易懂地解释卷积？中排名第一的马同学在中举了一个很好的例子（下面的一些图摘自马同学的文章，在此表示感谢），用丢骰子说明了卷积的应用。

要解决的问题是：有两枚骰子，把它们都抛出去，两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?

分析一下，两枚骰子点数加起来为4的情况有三种情况：1+3=4， 2+2=4, 3+1=4

因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：

写成卷积的方式就是：

在这里我想进一步用上面的翻转滑动叠加的逻辑进行解释。

首先，因为两个骰子的点数和是4，为了满足这个约束条件，我们还是把函数 g 翻转一下，然后阴影区域上下对应的数相乘，然后累加，相当于求自变量为4的卷积值，如下图所示：

进一步，如此翻转以后，可以方便地进行推广去求两个骰子点数和为 n 时的概率，为f 和 g的卷积 f*g(n)，如下图所示：

由上图可以看到，函数 g 的滑动，带来的是点数和的增大。这个例子中对f和g的约束条件就是点数和，它也是卷积函数的自变量。有兴趣还可以算算，如果骰子的每个点数出现的概率是均等的，那么两个骰子的点数和n=7的时候，概率最大。

例3：图像处理

还是引用知乎问题如何通俗易懂地解释卷积？中马同学的例子。图像可以表示为矩阵形式（下图摘自马同学的文章）：

对图像的处理函数（如平滑，或者边缘提取），也可以用一个g矩阵来表示，如：

$g=\begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix}$

注意，我们在处理平面空间的问题，已经是二维函数了，相当于：

$f(x,y)=a_{x,y}$ $g(x,y)=b_{x,y}$

那么函数f和g的在（u，v）处的卷积 $f*g(u,v)$ 该如何计算呢？

按卷积的定义，二维离散形式的卷积公式应该是：

$(f * g)(u, v)=\sum_{i} \sum_{j} f(i, j)g(u-i, v-j)=\sum_{i} \sum_{j} a_{i,j} b_{u-i,v-j}$

从卷积定义来看，应该是在x和y两个方向去累加（对应上面离散公式中的i和j两个下标），而且是无界的，从负无穷到正无穷。可是，真实世界都是有界的。例如，上面列举的图像处理函数g实际上是个3x3的矩阵，意味着，在除了原点附近以外，其它所有点的取值都为0。考虑到这个因素，上面的公式其实退化了，它只把坐标（u,v）附近的点选择出来做计算了。所以，真正的计算如下所示：

首先我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵：

$f=\begin{bmatrix} &a_{u-1,v-1} &a_{u-1,v} &a_{u-1,v+1}\\ &a_{u,v-1} &a_{u,v} &a_{u,v+1} \\ &a_{u+1,v-1} &a_{u+1,v} &a_{u+1,v+1} \end{bmatrix}$

然后将图像处理矩阵翻转（这个翻转有点意思，可以有几种不同的理解，其效果是等效的：（1）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转；（2）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转；），如下：

原始矩阵：

翻转后的矩阵： $g^{'}=\begin{bmatrix} &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1} \end{bmatrix}$

（1）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转

$g=\begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1} \end{bmatrix}=g^{'}$

（2）先沿y轴翻转，再沿x轴翻转

$g=\begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1} \end{bmatrix}=g^{'}$

计算卷积时，就可以用 $f$ 和 $g^{'}$ 的内积：

$f*g(u,v)=a_{u-1,v-1} \times b_{1,1} + a_{u-1,v} \times b_{1,0} + a_{u-1,v+1} \times b_{1,-1} + a_{u,v-1} \times b_{0,1} + a_{u,v} \times b_{0,0} + a_{u,v+1} \times b_{0,-1} + a_{u+1,v-1} \times b_{-1,1} + a_{u+1,v} \times b_{-1,0} + a_{u+1,v+1} \times b_{-1,-1}$

请注意，以上公式有一个特点，做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是（u,v），其目的是对这种加权求和进行一种约束。这也是为什么要将矩阵g进行翻转的原因。

以上计算的是（u,v）处的卷积，延x轴或者y轴滑动，就可以求出图像中各个位置的卷积，其输出结果是处理以后的图像（即经过平滑、边缘提取等各种处理的图像）。

再深入思考一下，在算图像卷积的时候，我们是直接在原始图像矩阵中取了（u,v）处的矩阵，为什么要取这个位置的矩阵，本质上其实是为了满足以上的约束。因为我们要算（u，v）处的卷积，而g矩阵是3x3的矩阵，要满足下标跟这个3x3矩阵的和是（u,v），只能是取原始图像中以（u，v）为中心的这个3x3矩阵，即图中的阴影区域的矩阵。

推而广之，如果如果g矩阵不是3x3，而是6x6，那我们就要在原始图像中取以（u，v）为中心的6x6矩阵进行计算。由此可见，这种卷积就是把原始图像中的相邻像素都考虑进来，进行混合。相邻的区域范围取决于g矩阵的维度，维度越大，涉及的周边像素越多。而矩阵的设计，则决定了这种混合输出的图像跟原始图像比，究竟是模糊了，还是更锐利了。

比如说，如下图像处理矩阵将使得图像变得更为平滑，显得更模糊，因为它联合周边像素进行了平均处理：

$g=\begin{bmatrix} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9}\\ &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} \\ &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} \end{bmatrix}$

而如下图像处理矩阵将使得像素值变化明显的地方更为明显，强化边缘，而变化平缓的地方没有影响，达到提取边缘的目的：

$g=\begin{bmatrix} &-1 &-1 &-1\\ &-1 &9 &-1 \\ &-1 &-1 &-1 \end{bmatrix}$

对网上一些解释的不同意见

网上有一些对卷积的形象解释，如知乎问题卷积为什么叫「卷」积？中荆哲，以及问题如何通俗易懂地解释卷积？中马同学等人提出的如下比喻：

其实图中“卷”的方向，是沿该方向进行积分求和的方向，并无翻转之意。因此，这种解释，并没有完整描述卷积的含义，对“卷”的理解值得商榷。

一些参考资料

《数字信号处理（第二版）》程乾生，北京大学出版社

《信号与系统引论》郑君里，应启珩，杨为理，高等教育出版社