多目标进化优化-MaOEA-IGD

参考文献
IGD Indicator-Based Evolutionary Algorithm for Many-Objective Optimization Problems
Yanan Sun, Member, IEEE, Gary G. Yen , Fellow, IEEE, and Zhang Yi, Fellow, IEEE

1. 创新点

一种基于分解的nadir point评估方法
一种新的非支配比较策略：个体和参考点之间比较
3种近似距离分配方案
基于新的非支配比较策略和3种新的近似距离分配方案改进了环境选择和交叉选择机制。

2. DNPE

公式：
好处：不用每次都进行非支配排序，挑选出PF的边界点，可以让算法更节约计算成本。
目的：找到乌托邦PF，使之能够准确的用于计算IGD指标

3. 算法框架

3.1 产生均匀的参考点

先根据DNPE找到每个维度的nadir point和ideal point
再使用MOEA/D中的分参考方向的方式产生一系列参考点集，其中这些参考点的每个维度的和都为1
最后，根据由DNPE得出的nadir point和ideal point将参考点集转换为乌托邦PF，记为p*，这个乌托邦PF将用于IGD的计算
伪代码：

3.2 分配rank值

大多数文章中的支配比较都是在个体和个体之间的，而本文中提出的一个新的支配关系比较策略是：个体和参考点之间进行支配比较
共有3种rank值：
1. r1：如果某个个体a至少支配一个p*中的参考点，则个体a的rank值为1
2. r2：如果某个个体a和p*中所有的个体都互不支配，则个体a的rank值为2
3. r3：若果某个个体a
  1. 被p*中的所有参考点所支配；
  2. 或被p*中一部分参考点支配，与另一部分参考点互不支配
  则，a的ran值为3
好处：
1. 在连续的情况下（前提），根据算法结束时得到的PS，我们可以根据PS中的个体的rank值来推断真实PF的形状。如果PS中所有的个体的rank值为r1，则PF的形状为凹的；如果为r2，PF的形状为超平面；如果为r3，则PF的形状为凸的
2. 根据rank值，我们可以粗略的估计出rank值为1的个体很可能是支配rank值为2和3的个体的，至少可以保证rank值越小的个体，是有较好的收敛性的。因此，可以将rank值作为环境选择和交叉选择中的第一个选择标准。（rank值这样分配的潜在缺点：不能保持传统的Pareto支配关系，因为rank值为1的个体，有可能不支配rank值为2的个体）
3. 可以根据3种rank值，设计不同的近似距离

3.3 近似距离的分配

rank值为1的个体：个体到参考点的欧式距离的负数（统一标准，都是选择有较小的距离的个体是有较好收敛性的个体）
rank值为2的个体：即图2中的d+。即IGD+指标

rank值为3的个体：正欧式距离

3.4 产生后代

如何选择父代进入交叉池？
1. 首先，随机选择两个个体，比较rank值，较小者进入交叉池
2. 若rank值相同，则比较近似距离，较小者进入交叉池
3. 如果近似距离还一样，随机选择一个
在一个大的搜索空间中（高维空间）怎么确保产生一个有希望的后代？
1. 限制性的交叉方法：在邻居中交叉、变异产生后代
2. SBX：使用一个大的分布索引值的模拟二进制交叉（本文采用）

3.5 环境选择

先选r1层，再选r2层，最后选r3层
如果所选取的最后一层的数量与前几层的数量相加大于N，则需要从最后一层中均匀的选取

假设需要从最后一层中选A个个体

均匀的选取参考点A个参考点

 %% Select K points from W
Distance = pdist2(W,W); % 计算参考点之间的欧式距离
Distance(logical(eye(length(Distance)))) = inf; % 将自己到自己的距离设置为inf
Del = false(1,size(W,1)); % 初始化删除的矩阵，此时Del矩阵中全是逻辑false
while sum(~Del) > K % 如果没有被删除的参考点的数量大于要选择的数量K，进入循环Remain   = find(~Del); % 找到剩余的参考点Temp     = sort(Distance(Remain,Remain),2); % 按照欧氏距离排序[~,Rank] = sortrows(Temp); % 按行排序，Del(Remain(Rank(1))) = true; % 将要删除的参考点设置为true
end
Dis = Dis(:,~Del); % 取反

然后选取距离每个参考点最近的个体（这些个体是最后一层中的个体），共A个，以准确的填满下一代种群

%% Greedy algorithm based selection (more efficient)
Choose = false(1,size(Dis,1)); % 初始化 size(Dis,1) ===> 个体数量
for i = 1 : size(Dis,2) % (Dis,2) ===> 参考点数量remain   = find(~Choose); % 找到剩余的参考点的索引值[~,best] = min(Dis(remain,i)); % 找到到第i个参考点的距离最小的个体的索引值Choose(remain(best)) = true; % 将这个被选中的个体移除
end

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