除法逆元（ZS and The Birthday Paradox，cf 711E）

这题真挺不错的，需要一些数学知识，对细节要求高。

一些资料与参考：

除法逆元 http://blog.csdn.net/acmmaxx/article/details/18409701

逆元详解 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

参考代码 http://blog.csdn.net/miracle_ma/article/details/52383461

寻找一共有多少个2的因子时用的方法不错。

不能写成pow，要写成mypow。

最后输出分子时要多次取模防止出现负数。

当a为正整数，m为素数，而且a与m互素时，a模m的逆元为a^(m-2)模m。

此题中a为2，m为一个素数。显然2与m互素。代入公式直接求逆元。

求逆元是为了使用除法逆元公式。

( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c==((a%c)*(b1%c))%c

其中b1是b模c的逆元。

在计算过程中需要求分子分母gcd模m的逆元。

带入公式，即2^(cnt*(m-2))%m的值。

难道直接mypow(mypow（2，cnt）,m-2)%m来算吗？

其实完全可以这样算，几乎不会更慢。但这个表达式是可以化简的。

根据费马小定理，2^(m-1)%m==1。

所以：2^(cnt*(m-2))%m=(2^(m-1)%m * 2^(m-1)%m * ...... * 2^(m-1)%m * 2^(cnt*(m-2)%(m-1)))%m=2^(cnt*(m-2)%(m-1))%m。

乘法取模，化简，乘开来，化简，得：2^(-cnt%(m-1))%m，。

根据费马小定理，以及乘法取模上式=(2^(-cnt%(m-1))*2^(m-1))%m=2^(m-1-tmp%(m-1))。

这就是代码中aaa的由来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const ll mod=1000003;
ll n,k;ll mypow(ll x,ll n)
{ll ret=1;while(n){if(n&1){ret=(ret*x)%mod;}x=(x*x)%mod;n>>=1;}return ret;
}int main()
{scanf("%I64d %I64d",&n,&k);ll x=0;while((1ll<<x)<k) x++;if(x>n){puts("1 1");return 0;}ll cnt=0;for(ll i=2;i<k;i<<=1){cnt+=(k-1)/i;//这个方法好，一开始在这里超时了。我还一个个的找。}ll aaa=mypow(2,mod-1-cnt%(mod-1));//用mypow不能用pow，aaa化简了，但并没有快多少。ll fm=(mypow(mypow(2,n),k-1)*aaa)%mod;if(k-1>=mod) printf("%I64d %I64d\n",fm,fm);else{ll fz=1;ll da=mypow(2,n);for(ll i=1;i<k;i++)fz=(fz*(da-i))%mod;fz=(fz*aaa)%mod;printf("%I64d %I64d\n",((fm-fz)%mod+mod)%mod,fm);//小细节，为了防止输出负数。}return 0;
}

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