最短路径问题算法总结

1、固定起点的最短路——Dijkstra算法
2、每对顶点之间的最短路——Floyd算法
3、Bellman-ford算法
4、SPFA（对Bellman-ford算法的优化）
5、堆优化的Dijkstra算法（对Dijkstra算法的优化）

1、固定起点的最短路——Dijkstra算法

最短路是一条路径，且最短路的任意一段也是最短路。假设在u0——v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一颗以u0为根的树。因此可以采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路，实现这一过程的方法是Dijkstra算法。

目标：单源，非负（不能有负权）

时间复杂度：O(n^2)

步骤：

1.用集合1表示已知点，用集合2表示未求点。则1中最初只有start（起始点）这个点，集合2中有其他n-1个点。

2.在集合2中找到一个到start距离最近的顶点k，距离为d[k]；

3.把顶点k加到集合1中，同时修改集合2中的剩余顶点 j 的d[j]，判断d[j]是否经过k后变短，如果变短修改d[j]；

if(d[k]+a[k][j]<d[j]) d[j] = d[k]+d[k][j]；

4.重复1，直到集合2为空为止.

伪代码如下：

 1 for(int i=1;i<=t;i++)2         dis[i]=a[st][i];3     vis[st]=1;dis[st]=0;4     for(int i=1;i<t;i++)5     {6         int minn=9999999;7         int k=0;8         for(int j=1;j<=t;j++)9             if(!(vis[j])&&(dis[j]<minn))
10             {11                 minn=dis[j];
12                 k=j;
13             }
14         if(k==0) break ;
15         vis[k]=1;
16         for(int j=1;j<=t;j++)
17             if(!(vis[j])&&(dis[k]+a[k][j]<dis[j]))
18                 dis[j]=dis[k]+a[k][j];
19     }

2、每对顶点之间的最短路——Floyd算法

基本原理：
根据图的传递闭包思想：

if(d[i][k]+d[j][k])<d[i][j])d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]

即每次找一个“中转站K”，如果d[i][k]+d[j][k])<d[i][j],则更新d[i][j].即更新i到j之间的距离。

时间复杂度：O(n^3)

初始化条件：

d[i][i]=0；//自己到自己的距离为0；

d[i][j]=边权；//i与j有直接相连的边。

d[i][j]=正无穷；//i与j没有直接相连的边。

算法核心：

1 for(int k=1;k<=n;k++)
2         for(int i=1;i<=n;i++)
3             for(int j=1;j<=n;j++){4                 if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]){5                     a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
6                 }
7             }

补充：
可定义path[i][j]记录i到j的最短路径中j的前驱顶点，可用于输出最小路径.

初始化：i到j有边，则path[i][j]=i；path[j][i]=j；
i到j不连通,则path[i][j]=-1；

核心代码：

1 for(int k=1;k<=n;k++)
2          for(int i=1;i<=n;i++)
3              for(int j=1;j<=n;j++){4                  if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]){5                      a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
6                      path[i][j]=path[k][j];
7                  }
8              }

3、Bellman-ford算法

Bellman——ford 算法N次迭代就可以判断图中是否有“负环”。

它取两种边有两种方法：

——扫描每一点的邻接表。
——用有序点对（x, y）记录边时，可直接取边。但要注意对无向边，要注意（y , x）也要松弛.

对于求s到某点的最短距离，可能因为其它地方有“负环”而出现问题，要预处理。

时间复杂度：O（N*E）

步骤：1.初始化每点到s点的距离为正无穷。

2.取所有边（x, y），看x能否对y松弛.

3.如果没有任何松弛，则结束break.

4.如果松弛次数<N, 转（2）；

5.如果第n次还能松弛,图中有“负环”.

伪代码略（不常用,一般用队列优化的SPFA）。

4、SPFA（对Bellman-ford算法的优化）

Bellman-ford算法中，每次都要检查所有的边。这个看起来比较浪费,对于边（x, y），如果上一次dis[x],没有改变，则本次的检查显然是多余的。

我们每次只要从上次刚被松弛过的点x，来看看x能不能松弛其它点即可。

SPFA算法中用BFS中的队列来存放刚被“松弛”过的点x,来看看x能不能松弛其它点即可。

时间复杂度：O（K*E）

算法描述：（伪代码）

 1 void spfa(int k)2 {3     memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));4     memset(vis, 0, sizeof(vis));5     dis[k] = 0;6     vis[k] = 1;7     q.push(k);8     while(!q.empty())9     {10         int x = q.front();
11         vis[k] = 0;
12         q.pop();
13         for(int i = head[x];i;i = e[i].next)
14         {15             int tmp = e[i].to;
16             if(dis[x] + e[i].v < dis[tmp])
17             {18                 dis[tmp] = dis[x] + e[i].v;
19                 if(!vis[tmp])
20                 {21                     vis[tmp] = 1;
22                     q.push(tmp);
23                 }
24             }
25         }
26     }
27 }

值得注意的是，该算法在特殊构造的图中很可能退化为O（N*M），需要谨慎使用。

于是，在这种情况下，出现了一种算法，时间复杂度优秀且稳定。

这就是堆优化的Dijkstra算法

5、堆优化的Dijkstra算法（对Dijkstra算法的优化）

其实我们发现，在每次贪心修改dis[]数组时，仍做了许多不必要的工作。

此时我们就可以用堆来维护，优化算法。

具体见代码：

 1 typedef pair<int, int> pii;2 priority_queue <pii, vector<pii>, greater<pii> > q;3 int dis[N], vis[N];4 void dijkstra(int k){5     memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));6     dis[k] = 0;7     q.push(make_pair(dis[k], k));8     while(!q.empty()){9         pii tmp = q.top();
10         q.pop();
11         int x = tmp.second;
12         if(vis[x]) continue;
13         vis[x] = 1;
14         for(int i = head[x];i;i = e[i].next){15             int y = e[i].to;
16             if(dis[x] + e[i].v < dis[y]){17                 dis[y] = dis[x] + e[i].v;
18                 if(!vis[y])
19                     q.push(make_pair(dis[y], y));
20             }
21         }
22     }
23 }

复制代码
　　　值得注意的是，使用dijkstra算法一定要注意图中是否存在负权边！否则后果你懂得。

总结一下，floyd算法适合暴力拿取部分分，SPFA算法时间复杂度优秀但不稳定，堆优化的dijkstra算法时间复杂度优秀且稳定，但图中不能有负权边。

本文参考文章地址：https://www.cnblogs.com/smilke/articles/10694952.html