[ 数论 ] Codeforces919E Congruence Equation

假设 n=Ap+B(B<p) n = A p + B ( B < p ) n=Ap+B(B

B⋅aAp+B≡b ( mod p ) B · a A p + B ≡ b ( m o d p )

B·a^{Ap+B}\equiv b ~(~mod~p~)

B⋅aA+B≡b ( mod p ) B · a A + B ≡ b ( m o d p )

B·a^{A+B}\equiv b ~(~mod~p~)

B⋅aB⋅b−1≡(a−1)A ( mod p ) B · a B · b − 1 ≡ ( a − 1 ) A ( m o d p )

B·a^B·b^{-1}\equiv (a^{-1})^A~(~mod~p~)
然后枚举 B B B 就好了。时间复杂度 O(p)" role="presentation" style="position: relative;">O(p)O(p)O(p) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,Ans;
int a,inva,b,p,tot;
int A,B;
int f[1000010];
inline int Pow(int x,int y){int Ans=1;for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%p)if(y&1)Ans=1ll*Ans*x%p;return Ans;
}
inline ll Calc(int x,int y){if(y==-1)return 0;ll r=(n-x)/p;if(r<tot)return (y<=r);return (r-y)/tot+1;
}
int main(){scanf("%d%d%d%I64d",&a,&b,&p,&n);inva=Pow(a,p-2);memset(f,-1,sizeof(f));int t=1;for(int i=0;;i++){if(f[t]==-1)f[t]=i;else{tot=i;break;}t=1ll*t*inva%p;}t=Pow(b,p-2);for(int i=0;i<p&&i<=n;i++,t=1ll*t*a%p){int tmp=1ll*i*t%p;Ans+=Calc(i,f[tmp]);}cout<<Ans<<endl;return 0;
}

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