密码学数学基础，群，阿贝尔群，阶，双线性对，哈希函数，消息认证码概述

抽象代数基础

群

定义群（Group）,设集合G，和二元运算·，称为群(G,·)如果满足下列条件：

封闭率：对任意a,b属于G，有（a,b）属于G
结合率：对任意a,b,c属于G,有（a·b）·c = a·（b·c）
单位元：存在单位元e，使得对于任意a属于G，都有a·e = e·a = a
逆元：对任意a属于G,都有逆元a^-1,使得a^-1·a = a·a^-1=e

阿贝尔群（Abelian Group）

对任意a,b属于G,都有a·b = b·a，称G为阿贝尔群或交换群

阶(Order)

群中元素的个数叫做该群的阶，用|G|表示。若|G|是有限的，称G为有限群，否则称为无限群。

循环群（Cyclic Group）

若存在一个元素g属于G，使得对于任意b属于G都存在一个整数i属于Z，满足b = gⁱ,称G为一个循环群。其中，g称为G的生成元（generator）。特别地，如果群G的阶为素数，那么该群中任意非单位元均为生成元。

双线性对

目前已知双线性对，可利用修改椭圆曲线上的Weil对或者Tate对得到

哈希函数H

习惯上用h表示计算结果是数，数属于Z_q^* ，用H表示计算结果是点，点属于G
哈希函数是确定性算法，如MD5,SHA等。可将任意长度的比特串输入x属于{0,1}^*映射到一个定长比特串，
即：H:{0,1}^* --> {0,1}ⁿ。
满足如下性质：
可有效计算性：存在多项式时间算法，输入x，输出H（x）
单向性：给定一个哈希值h，找到一个原像输入x，使得H（x）=h在计算上是不可行的。
抗强碰撞性：找到两个不同的输入x和y，使得H(x)=H(y)，在计算上是不可行的。
抗弱碰撞性：给定一个输入x，找出另一个不同的输入y，使得H（x）=H（y）在计算上是不可行的
雪崩：微小的输入偏差，都会造成哈希结果的完全不同。

消息认证码MAC

在密码学中，MAC(message authentication code)为消息认证码，主要作用有：
1）进行消息认证，证明消息的真实性，如消息确实来源于所声称的sender
2）保护消息数据的完整性，拥有密钥的receiver(或verifier)可发现

发送方使用一些公开已知的MAC算法,输入消息和密钥K和产生一个MAC值。
类似于哈希,MAC函数也压缩任意输入,输出固定长度。
区别是,MAC使用密钥在压缩。接收者使用消息和共享密钥K重新计算MAC值。以检查和接收到的MAC是否相等

MAC的缺陷：
1）需要预先进行密钥K共享
2）无法提供不可抵赖性（Non-Repudiation），因无法区分一条MAC消息是sender生成的还是receiver生成的，因为二者拥有的是相同的密钥。而公钥数字签名技术可提供不可抵赖性。

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